Köke (4) (84) doğrusal bir yaklaşım nasıl buluyorsunuz?

Cevap:

# kök (4) (84) ~~ 3.03 #

Açıklama:

Bunu not et #3^4 = 81#yakın olan #84#.

Yani #root (4) (84) # biraz daha büyük #3#.

Daha iyi bir yaklaşım elde etmek için, bir Newton yönteminde doğrusal bir yaklaşım kullanabiliriz.

Tanımlamak:

#f (x) = x ^ 4-84 #

Sonra:

#f '(x) = 4x ^ 3 #

ve yaklaşık bir sıfır verilmiş # X bir # = arasında #f (x) #daha iyi bir yaklaşım şöyledir:

#a - (f (a)) / (f '(a)) #

Yani bizim durumumuzda koyarak # A = 3 #daha iyi bir yaklaşım şöyledir:

# 3- (f (3)) / (f '(3)) = 3- (3 ^ 4-84) / (4 (3) ^ 3) = 3- (81-84) / (4 * 27) = 3 + 1/36 = 109/36 = 3.02bar (7) #

Bu neredeyse doğru #4# önemli rakamlar, ancak yaklaşımı şöyle söyleyelim: #3.03#

Cevap:

#root (4) (84), ~~ 3,02778 #

Açıklama:

Bir noktaya yakın doğrusal yaklaşımın olduğuna dikkat edin. # Bir # tarafından verilebilir:

#f (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

Eğer verildi ise: #f (x) = kök (4) (x) #

sonra uygun bir seçim # Bir # olabilir # A = 81 # çünkü biliyoruz #root (4) 81 = 3 # tam olarak ve o yakın #84#.

Yani:

#f (a) = f (81) = kök (4) (81) = 3 #

Ayrıca;

#f (x) = x ^ (1/4) # yani #f '(x) = 1 / 4x ^ (- 3/4) = 1 / (4 kök (4) (x) ^ 3) #

#f '(81) = 1 / (4 kök (4) (81) ^ 3) = 1 / (4 * 3 ^ 3) = 1/108 #

Bu nedenle yaklaşık değerlendirebiliriz #81#):

#f (x) ~~ f (a) + f (a) (X-a) #

# Kökü kolaylaştırır (4) (x) ~~ 3 + 1 / (108) (x-81) #

Yani:

#root (4) (84) = 3 + 1/108 (84-81) #

#3+1/108*3=324/3+3/108=327/108~~3.02778#

Daha doğru değer #3.02740#

bu yüzden doğrusal yaklaşım oldukça yakındır.

Cevap:

#root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #

Açıklama:

Bir işleve sahip olduğumuzu söyleyebiliriz. #f (x) = kök (4) (x) #

ve # root (4) (84) = f (84) #

Şimdi, fonksiyonumuzun türevini bulalım.

Güç kuralını kullanıyoruz ki #f (x) = x ^ n #, sonra #f '(x) = nx ^ (n-1) # nerede # N # bir sabittir.

#f (x) = x ^ (1/4) #

=>#f '(x) = 1/4 * x ^ (/ 04-01 Ocak) #

=>#f '(x) = (x ^ (- 3/4)) / 4 #

=>#f '(x) = 1 / x ^ (3/4) * 1/4 #

=>#f '(x) = 1 / (4x ^ (3/4)) #

Şimdi, yaklaşık # root (4) (84) #84'e en yakın mükemmel dördüncü gücü bulmaya çalışıyoruz.

Bakalım…

#1#

#16#

#81#

#256#

Bunu görüyoruz #81# en yakınımız.

Şimdi fonksiyonumuzun teğet çizgisini ne zaman buluruz # X = 81 #

=>#f '(81) = 1 / (4 x 81 ^ (3/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 x 81 ^ (2/4) * 81 ^ (1/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 x 9 x 3) #

=>#f '(81) = 1/108 #

Aradığımız eğim bu.

Teğet çizginin denklemini formda yazmaya çalışalım • y = mx + b #

Peki, ne • y # ne zamana eşit # X = 81 #?

Bakalım…

#f (81) = kök (4) (81) #

=>#f (81) = 3 #

Bu nedenle şimdi biz var:

# 3 = M81 + b # Eğimi biliyoruz, # M #, #1/108#

=># 3 = 1/108 * 81 + B # Şimdi çözebiliriz # B #.

=># 3 = 81/108 + B #

=># 3 = 3/4 + B #

=># 2 1/4 = b #

Bu nedenle, teğet çizginin denklemi # y = 1 / 108x + 2 1/4 #

Şimdi yerine 84 kullanıyoruz. # X #.

=># y = 1/108 * 84 + 2 1/4 #

=># y = 1/9 * 7 + 2 1/4 #

=>• y = 7/9 + 9/4 #

=>• y = 28/36 + 81/36 #

=>• y = 109/36 #

=>• y = 3.02bar7 #

Bu nedenle, #root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #