Teğetin x eksenine paralel olduğu y = x ^ (x (1 + 1 / y)), x> 0 eğrisinde herhangi bir nokta (x, y) var mı?

Cevap:

Matematiğim uzadıkça böyle bir nokta yoktur.

Açıklama:

Öncelikle, paralele paralel ise teğet koşullarını göz önüne alalım. # X #-Axis. Beri # X #-aksa yataydır, ona paralel olan herhangi bir çizgi de yatay olmalıdır; bu yüzden teğet çizginin yatay olduğunu takip eder. Ve tabii ki, türev eşittir zaman yatay teğet oluşur #0#.

Bu nedenle, ilk önce örtülü farklılaşma ile gerçekleştirilebilecek olan bu korkunç denklemin türevini bularak başlamalıyız:

• y = x ^ (x + x / y) #

# -> LNY = (x + x / y) LNX #

Toplam kuralı, zincir kuralı, ürün kuralı, bölüm kuralı ve cebir kullanarak, şunları yaptık:

# G / dx (LNY) D / dx (burada (x + x / y) LNX) # =

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y ') (LNX) + (x + x / y) (LNX)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y ') (LNX) + (x + x / y) (LNX)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (1 + (x'y-xdy / dx) / y ^ 2) (LNX) + (x + x / y) (1 / X) #

# -> dy / dx * 1 / y = LNX + LNX ((y-xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = LNX + LNX (1 / y- (xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = LNX + (LNX) / y- (xlnxdy / dx) / y ^ 2 + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y + (xlnxdy / dx) / y ^ 2 = LNX + (LNX) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx (1 / y + (XLNX) / y ^ 2) = LNX + (LNX) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + XLNX) / y ^ 2) = LNX + (LNX) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + XLNX) / y ^ 2) = (ylnx + LNX + 1 + y) / y #

# -> dy / dx = ((ylnx + LNX + 1 + y) / y) / ((y + XLNX) / y ^ 2) #

# -> dy / dx = (y (ylnx + LNX + 1 + y)) / (y + XLNX) #

Vay … çok yoğundu. Şimdi türevi eşit olarak ayarladık. #0# ve ne olduğunu görün.

# 0 = (y (ylnx + LNX + 1 + y)) / (y + XLNX) #

# 0 = ylnx + LNX + 1 + y #

# -Ylnx-y = LNX + 1 #

# -Y (LNX + 1) = LNX + 1 #

#y (LNX + 1) = - (LNX + 1) #

#y = (- (LNX + 1)) / (LNX + 1) #

• y = -1 #

İlginç. Şimdi fişe takalım • y = -1 # ve ne için aldığımızı görün # X #:

• y = x ^ (x (1 + 1 / y)) #

# -1 = x ^ (x (1 + 1/1)) #

# -1 = x ^ (x (1-1)) #

# -1 = x ^ 0 #

#-1=1#

Bu bir çelişki olduğundan, bu koşulu yerine getiren hiçbir nokta olmadığı sonucuna vardık.

Cevap:

Böyle bir teğet yoktur.

Açıklama:

#y = x ^ (x (1 + 1 / y)) = y = {y / (y + 1)} = x ^ x #. Şimdi arıyor #f (x, y) = x ^ x-y ^ {y / (y + 1)} = u (x) + v (y) = 0 # sahibiz

#df = f_x dx + f_y dy = (kısmi u) / (kısmi x) dx + (kısmi v) / (kısmi y) dy = 0 # sonra

# dy / dx = - ((kısmi u) / (kısmi x)) / ((kısmi v) / (kısmi y)) = (x ^ x (1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (y ^ (y / (1 + y)) (1 + y + Log_e (y))) = ((1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (1 + y + Log_e (y)) #

Bunu görüyoruz # dy / (dx) = 0 -> {y_0 = -1, x_0 = e ^ {- 1}} # ancak bu değerler şunları doğrulamalıdır:

#f (x, y_0) = 0 # ve

#f (x_0, y) = 0 #

İlk durumda, # y_0 = 1 # sahibiz

# x ^ x = -1 # Bu gerçek alanda elde edilemez.

İkinci durumda, # x_0 = e ^ {- 1} # sahibiz

# y ^ {y / (y + 1)} = e ^ {- 1} # veya

# y / (y + 1) log_e y = -1 #

fakat

# y / (y + 1) log_e y> -1 # yani gerçek bir çözüm de değil.

Sonuç olarak, böyle bir teğet yoktur.

Cevap:

Dr, Cawa K, x = 1 / e, cevabı kesindir.

Açıklama:

Bu değeri tam olarak elde etmek için bu soruyu önerdim. Sayesinde

Dr, Ca vahiy onaylayan kesin bir cevap istedi

çift duyarlık y 'bu aralıkta 0 kalır. y

sürekli ve ayırt edilebilir x = 1 / e. Her ikisi de 17-sd çift olarak

hassasiyet y ve y ', 0'dır, bu aralıkta, x = 1 / e civarındadır, bir

x ekseni arasındaki grafiğe dokunduğu varsayılır. Ve şimdi, öyle

kanıtlanmış. Dokunmanın aşkın olduğunu düşünüyorum..