(Tanx + sinx) / (2tanx) = cos ^ 2 (x / 2) nasıl ispatlanır?

Kanıtı tamamlamak için bu iki kimliğe ihtiyacımız olacak:

# Tanx = sinx / cosx #

#cos (x / 2) = + - sqrt ((1 + cosx) / 2) #

Sağ tarafla başlayacağım, sonra sol tarafa görünene kadar onu değiştireceğim:

# RHS = cos ^ 2 (x / 2) #

#color (beyaz) (ST) = (cos (x / 2)) ^ 2 #

#color (beyaz) (ST) = (+ - sqrt ((1 + cosx) / 2)) ^ 2 #

#color (beyaz) (ST) = (1 + cosx) / 2 #

#color (beyaz) (ST) = (+ cosx 1) / 2color (kırmızı) (* sinx / sinx) #

#color (beyaz) (ST) = (SiNx + sinxcosx) / (2sinx) #

#color (beyaz) (ST) = (sinx + sinxcosx) / (2sinx) renk (kırmızı) (* (1 / cosx) / (1 / cosx)) #

#color (beyaz) (ST) = (SiNx / cosx + (sinxcosx) / cosx) / (2sinx / cosx) #

#color (beyaz) (ST) = (tanx + SiNx) / (2tanx) #

#color (beyaz) (ST) = LHS #

Kanıt bu. Umarım bu yardımcı oldu!

Kimliği kanıtlamaya çalışıyoruz:

# (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) #

İfadenin LHS'sini düşünün ve teğet tanımını kullanın:

# LHS = (tanx + sinx) / (2tanx) #

# = ((sinx / cosx + sinx) / (2 (sinx / cosx))) #

# = (cosx / sinx) ((sinx / cosx + sinx) / 2) #

# = (cosx / sinx * sinx / cosx + cosx / sinx * sinx) / 2 #

# = (1 + cosx) / 2 #

Şimdi RHS'yi düşünün ve kimliği kullanın:

# cos2A - = 2cos ^ 2A - 1 #

Bize ver:

# cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) - 1 => 1 + cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) #

#:. cos ^ 2 (x / 2) = (1 + cosx) / 2 = RHS #

Böylece:

# LHS = RHS => (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) # QED

# LHS = (tanx + SiNx) / (2tanx) #

# = (İptal (tanx) (1 + SiNx / tanx)) / (2cancel (tanx)) #

# = (1 + cosx) / 2 = (2cos ^ 2 (x / 2)) / 2 = cos ^ 2 (x / 2) = RHS #