Eğer varsa f (x) = xe ^ (x ^ 3-7x) olan yerel ekstrema nedir?

Cevap:

#(0.14414, 0.05271)# yerel maksimum

#(1.45035, 0.00119)# ve #(-1.59449, -1947.21451)# yerel minimumlar.

Açıklama:

#f (x), y = xe ^ (x ^ 3-7x) # =

# Dy / dx = X (3x ^ 2-7) e ^ (x ^ 3-7x) + e ^ (x ^ 3-7x) = e ^ (x ^ 3-7x) (3x ^ 3-7x + 1) = 0 #

# e ^ (x ^ 3-7x) = 0,:. 1 / e ^ (7x-x ^ 3) = 0,:. e ^ (7x-x ^ 3) = - oo,:. x = oo #

Bu yerel bir ekstremum olarak nitelenmez.

# 3x ^ 3-7x + 1 = 0 #

Bu kübik fonksiyonun köklerini çözmek için Newton-Raphson metodunu kullanıyoruz:

#x_ (n + 1) = X_n-f (x_x) / (f (X_n)) #

Bu, bizi işlevin köküne yakın ve daha yakına götürecek yinelemeli bir süreçtir. Buradaki uzun süren süreci dahil etmiyorum, ancak ilk köke vardıktan sonra, uzun bölünme yapabilir ve diğer iki kök için kalan ikinci dereceden kolayca çözebiliriz.

Aşağıdaki kökleri alacağız:

# x = 0.14414, 1.45035 ve -1.59449 #

Şimdi ilk türev testini yapıyoruz ve türevin nerede pozitif veya negatif olduğunu görmek için her kökün soluna ve sağına değerleri deniyoruz.

Bu bize hangi noktanın maksimum, hangisinin minimum olduğunu söyleyecektir.

Sonuç aşağıdaki gibi olacaktır:

#(0.14414, 0.05271)# yerel maksimum

#(1.45035, 0.00119)# ve #(-1.59449, -1947.21451)# yerel minimumlar.

Asgari olanlardan birini aşağıdaki grafikte görebilirsiniz:

Aşağıdaki görünüm maksimum ve diğer minimum değerleri göstermektedir: