İki ardışık sayının karesinin toplamı 390'dır. İki sayıyı bulmak için ikinci dereceden denklemi nasıl formüle edersiniz?

Cevap:

İkinci dereceden # 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #.

Bunun bir tamsayı çözümü yok.

Hiçbir iki tamsayının da karelerinin toplamı eşit değildir #390#.

İki Gauss tamsayısının karelerinin toplamı 390 olabilir.

Açıklama:

İki sayının küçük olması, # N #, o zaman daha büyük # N + 1 # ve karelerinin toplamı:

# n ^ 2 + (n + 1) ^ 2 = n ^ 2 + n ^ 2 + 2n + 1 = 2n ^ 2 + 2n + 1 #

Yani çözmek için aradığımız ikinci dereceden denklem:

# 2n ^ 2 + 2n + 1 = 390 #

veya eğer tercih ederseniz:

# 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #

Ancak, herhangi bir tamsayı için olduğuna dikkat edin. # N # toplam # 2n ^ 2 + 2n + 1 # garip olacak, bu yüzden mümkün değil #390# İki ardışık tamsayının karelerinin toplamı olmak.

İki tamsayının karelerinin toplamı olarak ifade edilebilir mi?

#390 - 19^2 = 390 - 361 = 29' '# kare değil

#390 - 18^2 = 390 - 324 = 66' '# kare değil

#390 - 17^2 = 390 - 289 = 101' '# kare değil

#390 - 16^2 = 390 - 256 = 134' '# kare değil

#390 - 15^2 = 390 - 225 = 165' '# kare değil

#390 - 14^2 = 390 - 196 = 194' '# kare değil

Hayır - daha ileri gidersek, kareyi çıkardıktan sonra kalan büyük kısım zaten kontrol ettiğimizlerden biri olmayacak.

#Beyaz renk)()#

Karmaşık dipnot

Karesi toplamı bir Gauss tamsayıları var mı #390#?

Evet.

Diyelim ki bir Gauss tamsayısı bulabiliriz. # M + ni #, kare olan kısmı #195#. O zaman bu Gauss tamsayısının karesiyle karmaşık konjugat karesinin toplamı bir çözüm olurdu.

Bulduk:

# (m + ni) ^ 2 = (m ^ 2-n ^ 2) + 2mni #

Bu yüzden tamsayı bulmak istiyoruz #m, n # öyle ki # m ^ 2-n ^ 2 = 195 #

İyi:

#14^2-1^2 = 196-1 = 195#

Dolayısıyla biz buluruz:

# (14 + i) ^ 2 + (14-i) ^ 2 = 196 + 28i-1 + 196-28i-1 = 390 #

Her tek sayının iki ardışık sayının karelerinin farkı olduğu gerçeğinden gelen bir başka çözüm:

# (98 + 97i) ^ 2 + (98-97i) ^ 2 = 390 #