20 cm uzunluğunda ip iki parçaya bölünür. Parçalardan biri bir kare çevresi oluşturmak için kullanılır?

Cevap:

# "Minimum toplam alan = 10.175 cm²." #

# "Maksimum toplam alan = 25 cm²" #

Açıklama:

# "Bir kare oluşturacak parçanın uzunluğunu x olarak adlandırın." #

# "O zaman karenin alanı" (x / 4) ^ 2 "." #

# "Üçgenin çevresi" 20-x "dir." #

# "Eğer y, üçgenin eşit yanlarından biriyse, bizde var" #

# 2 * y + sqrt (y ^ 2 + y ^ 2) = 20-x #

# => y * (2 + sqrt (2)) = 20 x x #

# => y = (20-x) / (2 + sqrt (2)) #

# => alan = y ^ 2/2 = (20-x) ^ 2 / ((4 + 2 + 4 m2 (2)) * 2) #

# = (20-x) ^ 2 / (12 + 8 m² (2)) #

# "Toplam alan =" (x / 4) ^ 2 + (20-x) ^ 2 / (12 + 8 m² (2)) #

# = x ^ 2/16 + x ^ 2 / (12 + 8 m² (2)) - 40 x / (12 + 8 m2 (2)) + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# = x ^ 2 (1/16 + 1 / (12 + 8sqrt (2))) - (40 / (12 + 8sqrt (2))) x + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# "Bu bir parabole ve bir parabole için minimum"

#a x ^ 2 + b x + c = 0 "a" 0 ise "x = -b / (2 * a)" dir.

# "Maksimum", 0> ise "x-> oo" olur. #

# "Yani minimum" #

#x = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / (1/8 + 1 / (6 + 4sqrt (2)))) #

# = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / ((6 + 4sqrt (2) +8) / (8 (6 + 4sqrt (2)))) #

# = 160 / (14 + 4 m² (2)) #

# = 160 * (14 - 4 (2)) / (196 - 32)

# = (160/164) * (14 - 4 * sqrt (2)) #

# = (80/41) * (7 metrekare (8)) #

# = 8.13965 "cm" #

# => "Toplam alan =" 10.175 "cm²." #

# "Maksimum, x = 0 veya x = 20'dir." #

# "Alanı kontrol ediyoruz:" #

# "" X = 0 => "" = "400 / (12 + 8sqrt (2)) = 17.157" cm² "#

# "Ne zaman" x = 20 => "" = "5 ^ 2 = 25" cm² "#

# "Bu yüzden maksimum toplam alan 25 cm²." #

Cevap:

Minimum alan #10.1756# ve maksimum #25#

Açıklama:

Dik açılı ikizkenarın çevresi yan üçgen # Bir # olduğu #, A + a + sqrt2a = a (2 + sqrt2) # ve onun alanı # Bir ^ 2/2 #,

Bir parça olsun # X # santimetre. ondan dik açılı ikizkenar üçgen oluşturuyoruz. Sağ açılı ikizkenar üçgeninin yanının olacağı açıktır. # X / (2 + sqrt2) # ve onun alanı

# X, ^ 2 / (+ sqrt2 2 (2) ^ 2) = x ^ 2 / (2 (6 + 4sqrt2)) #

= # (X ^ 2 (6-4sqrt2)) / (2 (36-32)) = (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

Bir kare oluşturan dize kısmının çevresi # (20-x) # ve karenin yanı # (20-x) / 4 # onun alanı # (20-x) ^ 2/16 # ve toplam alan # T # ikisinden

# T = (20 x) AD 2/16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # (400-40x + x ^ 2) / 16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # 25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) #

Bunu gözlemle # 3-2sqrt2> 0 #, dolayısıyla katsayısı # X ^ 2 # olumludur ve bu yüzden bir minimaya sahip olacağız ve yazabiliriz. # T # gibi

# T = 0.1054x ^ 2-2.5x + 25 #

= # 0,1054 (x ^ 2-23.7192x + (11,8596) ^ 2) + 25-0.1054xx (11,8596) ^ 2 #

= # 0,1054 (x-11,8596) ^ 2 + 10,1756 #

Gibi # 0,1054, (x-11,8596) ^ 2 # her zaman pozitiftir, minimum değere sahibiz # T # ne zaman # X = 11,8596 #.

Teorik olarak, fonksiyon için bir maksimum bulunmadığını, ancak # X # arasında yatıyor #0,20#, ve ne zaman #, X = 0 #, sahibiz # T = 0,1054 (0-11.8596) ^ 2 + 10,1756 #

= # 0.1054xx11.8596 ^ 2 + 10,1756 = 25 #

ve ne zaman #, X = 20 # ne zaman # T = 0,1054 (20-11.8596) ^ 2 + 10,1756 #

= # 0.1054xx8.1404 ^ 2 + 10,1756 = 17.16 #

ve dolayısıyla maxima #25#

{25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) grafiği -11.92, 28.08, -0.96, 19.04}