Tan3x = 3Tanx-Tan ^ 3x - 1-3tan ^ 2x İspatla?

Cevap:

Nazikçe bir Kanıt içinde Açıklama.

Açıklama:

Sahibiz, #tan (x + y) = (tanx + tany) / (1-tanxtany) ………… (elmas) #.

Letting # X = y A # =, anlıyoruz

#tan (A + A) = (tana + tana) / (1-tana * tana) #.

#:. tan2A = (2tanA) / (1-kahve renkli ^ 2A) ………… (diamond_1) #.

Şimdi alıyoruz # (elmas), x = 2A ve, y = A #.

#:. açık kahve renkli (2A + U) = (tan2A + tana) / (1-tan2A * tana) #.

#:. tan3A = {(2tanA) / (1-kahve renkli ^ 2A) + tana} / {1- (2tanA) / (1-kahve renkli ^ 2A) * tana} #, # = {(2tanA + tana (1-kahve renkli ^ 2A)) / (1-kahve renkli ^ 2A)} - {1- (2tan ^ 2A) / (1-kahve renkli ^ 2A)} #, # = (2tanA + tana-kahve renkli ^ 3A) / (1-kahve renkli ^ 2A-2tan ^ 2A) #.

# rArr tan3A = (3tanA-tan ^ 3A) / (1-3tan ^ 2A) #, istediğiniz gibi!

De Moivre'den ilk prensiplerden yapalım:

#cos 3 x + günah 3x = (çünkü x + günah x) ^ 3 #

Kullanmak #1,3,3,1# Pascal üçgeni satırı, #cos 3 x + 3x günah iş #

# = cos ^ 3 x + 3 cos ^ 2 x (i sin x) + 3 cos x (i ^ 2 sin ^ 2 x) + i ^ 3 sin ^ 3 x #

# = (cos ^ 3 x - 3 cos x sin ^ 2 x) + i (3 cos ^ 2 x sin x - sin ^ 3 x) #

İlgili ve hayali parçaların eşitlenmesi, # cos 3 x = cos ^ 3 x - 3 cos x sin ^ 2 x #

# sin 3x = 3 cos ^ 2 x sin x - sin ^ 3 x #

Bunlar, üçlü açılı formüllerin (oldukça belirsiz bir şeklidir) ve genellikle bunları veya daha standart bir formu yazıp buradan başlarız.

# tan 3x = frak {sin 3x} {cos 3x} = frak {3 cos ^ 2 x sin x - sin ^ 3 x} {cos ^ 3 x - 3 cos x sin ^ 2 x} cdot frac {1 / cos ^ 3 x} {1 / cos ^ 3 x} #

#tan 3x = kırık {3 tan x - tan ^ 3 x} {1 - 3 tan ^ 2 x} quad square #