F (x) = xlnx-xe ^ x in yerel eksonu nedir?

Cevap:

Bu fonksiyonun yerel ekstreması yok.

Açıklama:

#f (x) = xlnx-xe ^ x, ima eder #

#g (x) eşittir f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x #

İçin # X # Yerel bir ekstremum olmak, #g (x) # sıfır olmalı Şimdi bunun gerçek değer için gerçekleşmediğini göstereceğiz. # X #.

Bunu not et

#g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x #

Böylece #g ^ '(x)' # eğer kaybolacak

# e ^ x = 1 / (x (x + 2)) #

Bu, sayısal olarak çözülebilen aşkın bir denklemdir. Dan beri #g ^ '(0) = + oo # ve #g ^ '(1) = 1-3e <0 #kök 0 ile 1 arasındadır. #g ^ {''} (0) <0 # herkes için # X #, bu tek kök ve en çok #g (x) #

Denklemi sayısal olarak çözmek oldukça kolaydır ve bu #g (x) # bir maksimum en # X = 0,3152 # ve maksimum değer # g (0.3152) = -1.957 #. Maksimum değerinden beri #g (x) # negatif, değeri yok # X # hangi #g (x) # ortadan kaybolur.

Buna grafiksel olarak bakmak öğretici olabilir:

Grafik {x (X) -X log e ^ x -0.105, 1, -1.175, 0.075}

Yukarıdaki grafikten görebileceğiniz gibi, işlev #f (x) # aslında azami #, X = 0 # - ama bu yerel bir maksimum değil. Aşağıdaki grafik göstermektedir ki #g (x) eşdeğeri f ^ '(x) # asla sıfır değerini almaz.

grafik {1 + log (x) - (x + 1) * e ^ x -0.105, 1, -3, 0.075}