Bir antiderivatif ve integral arasındaki fark nedir?

Fark yok, iki kelime eş anlamlı.

Birkaç şeye bağlı. Hangi antiderivatif, genel veya özel? hangi integral kesin veya belirsiz? Ve kime soruyoruz?

Genel Antiderivatif ve Belirsiz İntegral:

Birçok matematikçi belirsiz integralini ve genel antiderivatifi ayırt etmez. Her iki durumda da işlev için # F # cevap #F (x) +, C # nerede #F '(x) f (x) = #..

Bazıları (örneğin, ders kitabı yazarı James Stewart) bir ayrım yapmıştır. Stewart'ın "en genel" antiderivatif olarak adlandırdığı şey # F #, her kesintide farklı sabitleri kabul eder # F #. Örneğin, en genel antideriyatifinin cevap vereceğini söyledi. 1. / x ^ 2 # parçalı olarak tanımlanmış bir işlevdir:

#F (x) = (- 1) / x + C_1 # için # x <0 # ve # (- 1) / x + C_2 # için # x> 0 #.

Belirsiz integrali # F #Bu tedavide, belirli bir zaman aralığında her zaman bir antiderivatif # F # sürekli.

Yani #int 1 / x ^ 2 dx = -1 / x + C #burada, etki alanının ya pozitif gerçeklerin alt kümesi veya negatif gerçeklerin alt kümesi ile sınırlı olduğu anlaşılmaktadır.

Özel Antiderivatifler

Belirli bir antiderivatif # F # bir fonksiyon # F # (işlev ailesi yerine) bunun için #F '(x) f (x) = #.

Örneğin:

#F (x) = (- 1) / x + 5 # için # x <0 # ve # (- 1) / x + 1 # için # x> 0 #.

belirli bir antidervatif #f (x) = 1 / x ^ 2 #

Ve:

#G (x) = (- 1) / x-3 # için # x <0 # ve # (- 1) / x + 6 # için # x> 0 #.

farklı bir özel antidervatif #f (x) = 1 / x ^ 2 #.

Belirli integraller

Kesin integrali # F # itibaren # Bir # için # B # bir işlev değil. Bu bir sayıdır.

Örneğin:

# int_1 ^ 3 1 / x ^ 2 dx = 2/3 #.

(Meseleleri daha da karmaşıklaştırmak için, bu kesin integral, Bölüm 2'deki Temel Teorem, Bölüm 2, önce belirsiz bir integral / genel antiderivatif bularak, sonra somearitmetik olarak bulunabilir.)

Sorunuz Isaac Newton ve Gottfried Leibniz tarafından analizin geliştirilmesinde gerçekten “ana fikir” nin ne olduğu ile ilgilidir.

Asla olumsuz olmayan işlevlere odaklanan bu içgörü şöyle ifade edilebilir: "Antiderivatifler, bulmak alanlar (integraller) ve alanlar (integraller) kullanılabilir tanımlamak antiderivatifler ". Bu, Analizin Temel Teoreminin özüdür.

Riemann toplamları hakkında endişelenmeden (sonuçta, Bernhard Riemann, zaten Newton ve Leibniz'den yaklaşık 200 yıl sonra yaşadı) ve sürekli olumsuz olmayan bir işlev için alan kavramını sezgisel (tanımsız) bir kavram olarak kabul etti. #f (x) geq 0 # hepsi için # X # ile #a leq x leq b #, sadece belirli integral sembolünü düşünün # int_ {a} ^ {b} f (x) dx # grafiğinin altındaki alanı temsil eden # F # ve yukarıda # X #-arasında eksen # X bir # = ve #, X = b #. Eğer başka bir işlev # F # Böylece bulunabilir #F '(x) f (x) = # hepsi için #a leq x leq b #, sonra # F # bir antiderivatif denir # F # aralık boyunca # A, b # ve fark #F (b) -F, (a) # belirli integralin değerine eşittir. Yani, # int_ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) -F (a) #. Bu gerçek için yararlıdır bulgu bir antiderivatif için bir formül bulunabildiği zaman, belirli bir integralin (alan) değeri.

Tersine, integral sembolünün üst sınırını değişken yaparsak, onu çağır # T #, ve bir işlev tanımlayın # F # formülle #F (t) = int_ {a} ^ {t} f (x) dx # (yani #F (t), # gerçekten grafiğin altındaki alan # F # arasında # X bir # = ve # X = t #varsayılarak #a leq t leq b #), sonra bu yeni işlev # F # iyi tanımlanmış, ayırt edilebilir ve #F '(t) f (t) # = tüm numaralar için # T # arasında # Bir # ve # B #. İçin bir entegral kullandık tanımlamak bir antiderivatif # F #. Bu gerçek, herhangi bir formül bulunamadığında bir antidevatifin değerlerine yaklaşmak için kullanışlıdır (Simpson'un kuralı gibi sayısal entegrasyon yöntemleri kullanılarak). Örneğin, Normal eğri altındaki alanlara yaklaşırken istatistikçiler tarafından her zaman kullanılır. Standart Normal eğrinin özel bir antiderivatifinin değerleri genellikle istatistik kitaplarında bir tabloda verilmiştir.

Nerede durumunda # F # Olumsuz değerleri varsa, kesin integral "imzalı alanlar" açısından düşünülmelidir.