Gölgeli bölgenin alanını bulmak?

Cevap:

Lütfen aşağıya bakın.

Açıklama:

Bütünleşmeyle ilk önce alanları bulmayı öğrendiğimizde, dikey dikdörtgenleri alırız.

Dikdörtgenler tabanı var # Dx # (küçük bir değişiklik # X #) ve daha büyük • y # (üstteki eğrideki) eksi daha az • y # değer (alt eğrideki değer). Daha sonra en küçüğünden bütünleşiriz # X # en büyük değer # X # değer.

Bu yeni problem için, bu iki intergral'i kullanabiliriz (Jim S tarafından verilen cevaba bakınız), ancak düşüncelerimizi değiştirmeyi öğrenmek çok değerlidir. #90^@#.

Temsilci dikdörtgenleri horiontally alacağız.

Dikdörtgenler yüksekliği var # Dy # (küçük bir değişiklik • y #) ve daha büyük # X # (en sağdaki eğri üzerinde) eksi daha az # X # değer (en soldaki eğrideki değer). Daha sonra en küçüğünden bütünleşiriz • y # en büyük değer • y # değer.

Dualite dikkat edin

# {:("dikey", iff, "yatay"), (dx, iff, dy), ("üst", iff, "en sağda"), ("alt", iff, "en solda"), (x, iff, y):} #

"En küçüğünden" # X # en büyük değer # X # değer ", soldan sağa bütünlediğimizi gösterir. (Artan yönde) # X # değerleri).

"En küçüğünden" • y # en büyük değer • y # değer ", alttan üste entegre olduğumuzu gösterir. (Artan yönde) • y # değerleri).

Bölgede belirtilen, küçük bir dikdörtgenin bulunduğu bir resim:

Alan

# int_1 ^ 2 (y-1 / y ^ 2) dy = 1 #

Cevap:

Gölgeli bölgenin alanı # 1m ^ 2 #

Açıklama:

#, X = 1 / y ^ 2 #

• y ^ 2 = 1 / x #

• y = sqrtx / x # (grafikten görebiliriz)

# Sqrtx / x = x # #<=># # X, ^ 2 = sqrtx # #<=>#

# X, ^ 4-x = 0 # #<=># # x (x ^ 3-1) = 0 # #<=># #, X = 1 # (grafikten de görebiliriz)

Gölgeli bölgenin alanını ifade etmenin birçok yolundan biri üçgen alanı gibi olabilir # AhatOB = Ω # arayacağım mavi alan hariç #color (camgöbeği) (Ω_3) #

let #Ω_1# grafikte gösterilen siyah alan olmalı ve #color (yeşil) (Ω_2) # grafikte gösterilen yeşil alan.

Küçük üçgenin alanı # ChatAD = # #color (yeşil) (Ω_2) # olacak:

• #color (yeşil) (Ω_2) = ## 1/2 * 1 * 1 = 1 / 2m ^ 2 #

# Sqrtx / x = 2 # #<=># # Sqrtx = 2x # #<=># # X = 4x ^ 2 #

#<=># #, X = 1/4 #

Bölgesi #Ω_1# olacak:

#int_ (1/4) ^ 1 (2-sqrtx / x) dx = 2 x _ (1/4) ^ 1-2 sqrtx _ (1/4) ^ 1 = #

2. (1-1 / 4) -2- (1-sqrt (1/4)) = 6 / 4-2 (1-1 / 2) #

# = 3 / 2-1 = 1 / 2m ^ 2 #

Sonuç olarak, gölgeli alan

• #Ω_1## + Renk (yeşil) (Ω_2) ## = 1/2 + 1/2 = 1 m ^ 2 #