Cevap:
Aslında dört değer var # X / 2 # birim dairede her trig fonksiyonu için dört değer. Yarım açının ana değeri yaklaşık # 2.2 ^ circ. #
#cos (1 / 2text {Yay} metni {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #
#sin (1 / 2text {Yay} metni {cot} 13) = günah 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #
#tan (1 / 2text {Ark} metin {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #
Lütfen diğerleri için açıklamaya bakınız.
Açıklama:
İlk önce cevap hakkında biraz konuşalım. Sabit olan ünite çemberinde iki açı vardır. #13#. Biri etrafında # 4.4 ^ circ #, ve başka bir artı 180. ^ devir daim #, Bunu aramak # 184.4 ^ circ #. Bunların her biri, yine ayrılan iki yarım açıya sahiptir. # 180 ^ circ. # İlki yarım açıya sahip # 2.2 ^ circ # ve # 182.2 ^ circ #, ikincisi yarım açıya sahiptir # 92.2 ^ circ # ve # 272.2 ^ circ #Yani, gerçekten dört yarım açı söz konusudur, trig fonksiyonları için farklı fakat ilişkili değerler vardır.
Yukarıdaki açıları yaklaşık olarak kullanacağız, böylece isimlerimiz var.
13'lü kotanjantlı açılar:
#text {Yay} text {cot} 13 yaklaşık 4.4 ^ yaklaşık #
# 180 ^ circ + text {Arc} metin {cot} 13 yaklaşık 184.4 ^ circ #
Yarım açıları:
# 1/2 metin {Arc} metin {cot} 13 yaklaşık 2.2 ^ yaklaşık #
# 1/2 (360 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) yaklaşık 182.2 ^ circ #
# 1/2 (180 ^ circ + metin {Arc} text {cot} 13) yaklaşık 92.2 ^ circ #
# 1/2 (360 ^ cir + 180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) yaklaşık 272.2 ^ circ #
Tamam, kosinüs için çift açılı formüller:
#cos (2a) = 2 çünkü ^ 2 a - 1 = 1 - sin ^ 2 a #
bu yüzden ilgili yarım açılı formüller
# sin a = pm sqrt {1/2 (1-cos (2a))} #
#cos a = pm sqrt {1/2 (1 + cos (2a))} #
Hepsi ön. Hadi problemi yapalım.
Önce küçük açıyı yapacağız. # 2.2 ^ circ. # Geri kalanlarının sadece katları olduğunu görüyoruz. # 90 ^ circ # bunun ötesinde, bu yüzden onların trig fonksiyonlarını bu ilk açıdan alabiliriz.
13'ün bir kotanjanı, bir eğimdir. #1/13# yani karşıt olan dik üçgene karşılık gelir #1#bitişik #13# ve hipotenüs #sqrt {13 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {170}. #
#cos ({Arc} metni {cot} 13) = cos 4.4 ^ circ = {13} / sqrt {170} #
#sin (metin {Arc} metni {cot} 13) = günah 4.4 ^ circ = {1} / sqrt {170} #
Şimdi yarım açı formüllerini uyguluyoruz. Birinci kadranda bizim ufacık açımız için olumlu işaretleri seçiyoruz.
#cos (1 / 2text {Arc} metin {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #
Kesirleri radikal dışına taşıyarak basitleştirmeyi deneyebiliriz, ama ben sadece burada bırakacağım.
#sin (1 / 2text {Arc} metni {cot} 13) = günah 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #
Teğet yarım açı, bunların bir bölümüdür, ancak kullanımı daha kolaydır
# tan (theta / 2) = {sin teta} / {1 + cos teta} #
#tan (1 / 2text {Arc} metni {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = {1 / sqrt {170}} / {1 + {13} / sqrt {170}} = sqrt (170) - 13 #
Tamam, hepsi bu zor kısmı, ama diğer açıları unutmayalım.
# cos 182.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #
#sin 182.2 ^ circ = -sin 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #
# tan 182.2 ^ circ = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #
Şimdi sinüs ve kosinüs, işaretler çevirerek takas kalan açıları var. Teğet dışındaki formları tekrar etmeyeceğiz.
# cos 92.2 ^ circ = - günah 2.2 ^ circ #
#sin 92.2 ^ circ = cos 2.2 ^ circ #
# tan 92.2 ^ circ = -1 / {tan 2.2 ^ circ} = -13 - sqrt (170) #
# cos 272.2 ^ circ = günah 2.2 ^ circ #
#sin 272.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ #
# tan 272.2 ^ circ = tan 92.2 ^ circ = -13 - sqrt (170) #
Uf.
Cevap:
#color (indigo) (tan (x / 2) = 0.0384, günah (x / 2) = + -0.0384, cos (x / 2) = + -1
#color (koyu kırmızı) (tan (x / 2) = -26.0384, günah (x / 2) = + - 0,9993, cos (x / 2) = + - 0,0384 #
Açıklama:
# tan (2x) = (2 tan x) / (1 - tan ^ 2x) #
# sin 2x = (2 tan x) / (1 + tan ^ 2 x) #
+ çünkü 2x = (1- 2tan ^ 2 x) / (1 + tan ^ 2 x) #
#cot x = 1 / tan x = 13 #
#tan x = 1/13 #
#tan x = 1/13 = (2 tan (x / 2)) / (1 - tan ^ 2 (x / 2) #
# 1 - tan ^ 2 (x / 2) = 26 tan (x / 2) #
# tan * 2 (x / 2) + 26 tan (x / 2) - 1 = 0 #
#tan (x / 2) = (-26 + - m² (26 ^ 2 + 4)) / 2 #
#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (680)) / 2 #
#tan (x / 2) = 0.0384, -26.0384 #
# csc ^ 2x = 1 + karyola ^ 2 x #
#:. csc ^ 2 (x / 2) = 1 + karyola ^ 2 (x / 2) #
Ama biliyorduk #cot (x / 2) = 1 / tan (x / 2) #
Ne zaman #tan (x / 2) = 0.0384 #, # csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / 0,0384) ^ 2 = 679.1684 #
#csc (x / 2) = sqrt (679.1684) = + -26.0609 #
#sin (x / 2) = + - (1 / 26.0609) = + -0.0384 #
#cos (x / 2) = günah (x / 2) / tan (x / 2) = + - 0.0384 / 0.0384 = + - 1 #
Ne zaman #tan (x / 2) = -26.0384 #, #csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / (-26.0384) ^ 2) = 1.0015 #
#sin (x / 2) = 1 / sqrt (1.0015) = + -0.9993 #
#cos (x / 2) = günah (x / 2) / tan (x / 2) = + -0.9993 / -26.0384 = + -0.0384 #
