Sqrt (3 + i) a + bi formunda eşittir?

Cevap:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

varsaymak # (a + bi) ^ 2 = 3 + i #

# (a + bi) ^ 2 = (a ^ 2-b ^ 2) + 2abi #

Öyleyse gerçek ve hayali kısımları eşitleyerek:

# a ^ 2-b ^ 2 = 3 #

# 2ab = 1 #

bundan dolayı #b = 1 / (2a) #almak için ilk denklemin yerine geçebilecek olan:

# 3 = a ^ 2- (1 / (2a)) ^ 2 = a ^ 2-1 / (4a ^ 2) #

Her iki ucu da çarpma # 4a ^ 2 # almak:

# 12 (a ^ 2) = 4 (a ^ 2) ^ 2-1 #

Yani:

# 4 (a ^ 2) ^ 2-12 (a ^ 2) -1 = 0 #

Kuadratik formülden aldığımız:

# a ^ 2 = (12 + - kısa (12 ^ 2 + 16)) / 8 = (12 + - kısa (160)) / 8 = (3 + - kısa (10)) / 2 #

Dan beri #sqrt (10)> 3 #, seç #+# Gerçek değerleri almak için # Bir #:

#a = + -sqrt ((sqrt (10) +3) / 2) #

#b = + -sqrt (a ^ 2-3) = + -sqrt ((sqrt (10) -3) / 2) #

nerede # B # aynı işarete sahip # Bir # dan beri #b = 1 / (2a) #

Temel karekök, ilk çeyrekte #a, b> 0 #

Yani:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

Aslında, eğer #c, d> 0 # o zaman benzer şekilde gösterebiliriz:

#sqrt (c + di) = (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) + c) / 2)) + (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) -c) / 2)) ben#