Yakınsama tanımını kullanarak, {2 ^ -n} dizisinin n = 1'den sonsuzluğa yaklaştığını nasıl kanıtlarsınız?

Cevap:

Üstel fonksiyonun özelliklerini kullanarak N değerini belirlemek için kullanın. # | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon # her şey için # m, n> N #

Açıklama:

Yakınsama tanımı # {A_n} # eğer yakınsalar:

#AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon #

Yani, verilen #epsilon> 0 # almak #N> log_2 (1 / epsilon) # ve # m, n> N # ile #m <n #

Gibi #m <n #, # (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 # yani # | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1-2 ^ (m-n)) #

Şimdi 2. ^ x # her zaman olumlu # (1-2 ^ (m-n)) <1 #, yani

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) #

Ve benzeri 2. ^ (- x) # kesinlikle düşüyor ve #m> N> log_2 (1 / epsilon) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) <2 ^ (- N) <2 ^ (- log_2 (1 / epsilon) #

Fakat:

# 2 ^ (- - log_2 (1 / epsilon)) = 2 ^ (log_2 (epsilon)) = epsilon #

Yani:

# | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | <epsilon #

Quod erat demonstrandum