X ^ n'nin türevi nedir?

İşlev için #f (x) = x ^ n #, n gerekir değil netleşecek sebeplerden dolayı eşit 0. n aynı zamanda bir tam sayı veya rasyonel bir sayı olmalıdır (yani bir kesir).

Kural:

#f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) #

Başka bir deyişle, x'in gücünü “ödünç alıyoruz” ve onu türevin katsayısı yapıyoruz ve ardından 1'i güçten alıyoruz.

#f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 #

#f (x) = x ^ 7 => f '(x) = 7x ^ 6 #

#f (x) = x ^ (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) #

Bahsettiğim gibi, özel durum n = 0. Bu şu demek

#f (x) = x ^ 0 = 1 #

Kurallarımızı kullanabiliriz ve teknik olarak doğru cevabı bul:

#f '(x) = 0x ^ -1 = 0 #

Ancak, daha sonra pistte bu kuralın tersini kullanmaya çalıştığımızda komplikasyonlarla karşılaşacağız.

Cevap:

# y ^ '= nx ^ (n-1) #

Aşağıda her sayının kanıtı bulunmaktadır, ancak yalnızca tüm tam sayıların kanıtı türev tanımının temel becerisini kullanır. Tüm rasyonellerin ispatı zincir kuralını ve irrasyonellerin örtük farklılaşmasını kullanır.

Açıklama:

Olduğu söyleniyor, hepsini burada göstereceğim, böylece süreci anlayabilirsiniz. Dikkat et #irade# oldukça uzun ol.

itibaren #y = x ^ (n) #, Eğer #n = 0 # sahibiz #y = 1 # ve bir sabitin türevi her zaman sıfırdır.

Eğer # N # türev formülünde onu atabileceğimiz ve karışıklığı çözmek için binom teoremini kullanabileceğimiz herhangi bir pozitif tamsayıdır.

#y = lim_ (saat 0) ((x + h) ^ n - x ^ n) / saat #

#y = lim_ (saat 0) (x ^ n + Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) - x ^ n) / s #

Nerede # K_i # uygun sabittir

#y = lim_ (saat 0) Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) / saat #

Bunu bölmek # H #

#y = lim_ (saat 0) Sigma_ (i = 1) ^ nK_i * x ^ (n-i) saat ^ (i-1) #

Toplamdan ilk terimi alabiliriz

#y = lim_ (saat 0) K_1 * x ^ (n-1) + Sigma_ (i = 2) ^ nK_ix ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Limit alarak, hala toplamda kalan her şey sıfıra gider. Hesaplanıyor # K_1 # eşit olduğunu görüyoruz # N #, yani

#y = K_1 * x ^ (n-1) = nx ^ (n-1) #

İçin # N # Bu negatif tamsayılar biraz daha karmaşık. Bilerek # x ^ -n = 1 / x ^ b #, öyle ki #b = -n # ve bu nedenle olumlu.

#y = lim_ (saat 0) 1 / saat (1 / (x + saat) ^ b - 1 / x ^ b) #

#y = lim_ (saat 0) 1 / saat ((x ^ b - (x + saat) ^ b) / (x ^ b (x + saat) ^ b)) #

#y = lim_ (saat 0) 1 / saat ((x ^ b - x ^ b - Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ i) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (saat 0) ((- - Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (b-i) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + s) ^ b)) #

İlk terimi al

#y = lim_ (saat 0) ((- - K_1x ^ (b-1) - Sigma_ (i = 2) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Sınırı al, Nerede # K_1 = b #, onu geri koyarak # N #

#y = -K_1x ^ (b-1) / (x ^ b * x ^ b) = -K_1x ^ (b-1-2b) = -K_1x ^ (- b-1) = nx ^ (n-1) #

Gerekçeler için zincir kuralını kullanmamız gerekiyor. yani.: # f (g (x)) ^ '= f ^' (g (x)) g ^ '(x) #

Yani bunu bilerek # x ^ (1 / n) = kök (n) (x) # ve varsayarak #n = 1 / b # sahibiz

# (x ^ n) ^ b = x #

Eğer # B # hatta cevap teknik olarak # | X | # ama bu bizim amaçlarımız için yeterince yakın.

Yani, zincir kuralı kullanarak

# x ^ n ^ '= 1 / (bx ^ (nb-n)) = 1 / (bx ^ (1-n)) = nx ^ (n - 1) #

Ve son fakat en az değil, örtük farklılaşmayı kullanarak irrasyonel olanlar dahil tüm gerçek sayıları ispatlayabiliriz.

#y = x ^ n #

#ln (y) = n * ln (x) #

#y ^ '/ y = n / x #

# y ^ '= (nx ^ n) / x = nx ^ (n-1) #