Bir özvektör nedir? + Örnek

Cevap:

Eğer vektör # V # ve bir vektör uzayının doğrusal dönüşümü # A # öyle #A (v) = k * v # (nerede sabit # K denir özdeğer), # V # denir özvektörü Doğrusal dönüşümün # A #.

Açıklama:

Doğrusal bir dönüşüm düşünün # A # Vektörlerin bir faktöre göre gerilmesi #2# üç boyutlu uzayda. Herhangi bir vektör # V # dönüşecek # 2v #. Bu nedenle, bu dönüşüm için tüm vektörler özvektörler ile özdeğer arasında #2#.

Z ekseni etrafındaki üç boyutlu bir boşluğun bir açıyla dönmesini düşünün. 90. ^ O #. Açıkçası, Z ekseni boyunca olanlar dışındaki tüm vektörler yönü değiştirecek ve bu nedenle özvektörler. Fakat Z ekseni boyunca bu vektörler (koordinatları formdadır) # 0,0, Z #) yön ve uzunluklarını koruyacaklar, bu nedenle özvektörler ile özdeğer arasında #1#.

Son olarak, bir rotasyon düşünün 180. ^ O # Z ekseni etrafındaki üç boyutlu uzayda. Daha önce olduğu gibi, tüm vektörler uzun Z-ekseni değişmeyecek, yani özvektörler ile özdeğer arasında #1#.

Ayrıca, XY düzlemindeki tüm vektörler (koordinatları formdadır. # X, y, 0 #) uzunluğu koruyarak yönü tersine değiştirir. Bu nedenle, onlar da özvektörler ile özdeğerler arasında #-1#.

Bir vektör uzayının herhangi bir lineer dönüşümü, bir vektörün bir matris ile çarpımı olarak ifade edilebilir. Örneğin, ilk gerdirme örneği bir matrisle çarpım olarak tanımlanır # A #

| 2 | 0 | 0 |

| 0 | 2 | 0 |

| 0 | 0 | 2 |

Herhangi bir vektörle çarpılan böyle bir matris # V = {x, y, z} # üretecek # A * v = {2x, 2y, 2z} #

Bu açıkçası eşittir 2. * v #. Böylece sahibiz

# A * v = 2 * v #, hangi herhangi bir vektör olduğunu kanıtlıyor # V # bir özvektörü bir ile özdeğer #2#.

İkinci örnek 90. ^ O # Z ekseni etrafında) bir matris ile çarpım olarak tanımlanabilir # A #

| 0 | -1 | 0 |

| 1 | 0 | 0 |

| 0 | 0 | 1 |

Herhangi bir vektörle çarpılan böyle bir matris # V = {x, y, z} # üretecek # A * v = {- Y, X, Z} #, orijinal vektör ile aynı yöne sahip olabilir # V = {x, y, z} # Yalnızca # X = y = 0 #, eğer orijinal vektör Z ekseni boyunca yönlendiriliyorsa.