Tüm karmaşık sayıları trigonometrik forma dönüştürün ve ifadeyi basitleştirin. Cevabı standart forma yazınız.

Cevap:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-sqrt {3} + i) ^ 3} / (sqrt {3} + i) ^ 10 #

# = (sqrt {3} -1) / 2 + (sqrt {3} + 1) / 2 #

Açıklama:

Bu sorunun bir başka cevabında, bu soruda bir yazım hatası olduğunu tahmin ediyorum. #-3# olması gerekiyordu # -Sqrt {3} #. Bir yorumda, durumun böyle olmadığından, sorunun yazıldığı gibi doğru olduğundan emin oldum.

Nasıl belirlediğimizi tekrarlamayacağım

# 2+ 2i = 2 sqrt {2} text {cis} 45 ^ yaklaşık #

# sqrt {3} + i = 2 text {cis} 30 ^ circ #

Ama şimdi dönüştürmeliyiz # -3 + i # trigonometrik forma. Yapabiliriz, ancak Trig'in tercih ettiği üçgenlerden biri olmadığı için biraz daha garip.

# | -3 + i | = sqrt {3 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {10} #

İkinci kadrandayız ve ters tanjantın temel değeri dördüncü kadran.

# angle (-3 + i) = text {Ark} text {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ yaklaşık #

# -3 + i = sqrt {10} text {cis} (metin {Arc} metni {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ) #

De Moivre böyle bir formda çok iyi çalışmıyor, anlıyoruz

# (-3 + i) ^ 3 = sqrt {10 ^ 3} text {cis} (3 (metin {Arc} metin {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ)) #

Ama sıkışıp kalmadık. Üssü sadece #3# Bunu üçlü açı formülleriyle yapabiliriz. Bulduğumuz sabit açıyı arayalım

#theta = açı (-3 + i) #

De Moivre tarafından, # (-3 + i) ^ 3 = (sqrt {10} text {cis} teta) ^ 3 = 10sqrt {10} (cos (3theta) + i sin (3 teta)) #

Biliyoruz

# cos theta = -3 / sqrt {10}, dört günah teta = 1 / sqrt {10} #

#cos (3 teta) = 4 cos ^ 3 teta - 3 cos teta = 4 (-3 / sqrt {10}) ^ 3 - 3 (-3 / sqrt {10}) = - (9 sqrt (10)) / 50 #

#sin (3 teta) = 3 sintata - 4 sin ^ 3 teta = 3 (1 / sqrt {10}) - 4 (1 / sqrt {10}) ^ 3 = (13 sqrt (10)) / 50 #

# (-3 + i) ^ 3 = 10sqrt {10} (sqrt {10} / 50) (-9 + 13 i) = -18 +26 i #

Bu sadece küpten çok daha fazla iş gibi görünüyor # (- 3 + i) #

# (-3 + i) (- 3 + i) (- 3 + i) = (- 3 + i) (8 -6i) = -18 + 26 dörtlü #

Tamam, hadi problemi yapalım:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# = {(2 sqrt {2} text {cis} 45 ^ yaklaşık) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(2 text {cis} 30 ^ yaklaşık) ^ {10} } #

# = ({2 ^ 5 sqrt {2 ^ 5}} / 2 ^ 10) { text {cis} (5 cdot 45 ^ circ)} / { text {cis} (10 cdot 30 ^ circ)} (- 3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) { text {cis} (225 ^ circ)} / { text {cis} (300 ^ circ)} (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) text {cis} (225 ^ yaklaşık - 300) (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) text {cis} (- 75 ^ circ) #

Ugh, asla bitmez. Alırız

#cos (-75 ^ circ) = cos 75 ^ circ = cos (45 ^ circ + 30 ^ circ) = sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 - 1/2) = 1/4 (sqrt {6} -sqrt {2}) #

#sin (-75 ^ circ) = - (sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30) = -sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 + 1/2) = - 1/4 (sqrt {6} + sqrt {2}) #

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) 1/4 ((sqrt {6} -sqrt {2}) - (sqrt {6} + sqrt {2}) i) #

# = {11 + 2 sqrt (3)} / 4 + (11 sqrt (3) - 2) / 4 i #