F (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) alanı ve aralığı nedir?

Cevap:

Etki alanı # RR # (tüm gerçek sayılar) ve aralık # 5-sqrt (61)) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72 #

(arasında ve dahil olmak üzere tüm gerçek sayılar # (5-sqrt (61)) / 72 # ve # (5 + sqrt (61)) / 72 #).

Açıklama:

Etki alanında, tüm gerçek sayılarla başlıyoruz ve sonra bizi negatif bir sayının kareköküne sahip olanları kaldırıyoruz. #0# kesir paydası.

Bir bakışta bunu biliyoruz ki # x ^ 2> = 0 # Tüm gerçek sayılar için, # x ^ 2 + 36> = 36> 0 #. Böylece payda olmayacak #0# herhangi bir gerçek sayı için # X #, yani etki alanı her gerçek sayıyı içerir.

Aralık için, yukarıdaki değerleri bulmanın en kolay yolu, bazı temel hesaplamaları içerir. Daha uzun olmasına rağmen, onları sadece cebir kullanarak bulmak da mümkündür, ancak aşağıda ayrıntılı olarak açıklanan yöntemle.

İşlevden başlayarak #f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # olası tüm değerlerini bulmak istiyoruz #f (x) #. Bu ters fonksiyonun alanını bulmakla eşdeğerdir. # F ^ -1 (x) # (özellikli bir işlev # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = 1 #)

Ne yazık ki, tersi #f (x) # Bu durumda bir fonksiyon değildir, çünkü 2 değer döndürür, ancak fikir hala aynıdır. Denklemi ile başlayacağız #y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # ve çözmek # X # tersini bulmak için. Sonra, olası değerlere bakacağız • y # tersin etki alanını ve dolayısıyla orijinal işlevin aralığını bulmak için.

İçin çözme # X #:

#y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) #

# => y (x ^ 2 + 36) = x + 5 #

# => yx ^ 2 + 36y = x + 5 #

# => yx ^ 2 - x + (36y - 5) = 0 #

tedavisi • y # sabit olarak, ikinci dereceden formülünü uygularız

# ax ^ 2 + bx + c = 0 => x = (-b + - sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

elde etmek üzere

#x = (1 + - sqrt (1 - 4y (36y-5))) / (2y) #

Şimdi yukarıdaki ifadenin etki alanını bulmamız gerekiyor (bunun nedeniyle işlev olmadığına dikkat edin) #+-#). Buna göre bölerek • y # ikinci dereceden formülde, olasılığımızı kaybettik • y = 0 #Özgün denklemde açıkça mümkün olan, #x = -5 #). Böylece biz dikkate almayacağız • y # tersin payda ve sadece karekök odaklanın.

Daha önce de belirtildiği gibi, 0'dan küçük bir değerin kareköküne izin vermiyoruz ve bu nedenle kısıtlamaya sahibiz.

# 1 - 4y (36y-5)> = 0 #

# => -144y ^ 2 + 20y + 1> = 0 #

İkinci dereceden formülünü kullanma # -144y ^ 2 + 20y + 1 = 0 # bazı basitleştirmelerden sonra buluruz, #y = (5 + -sqrt (61)) / 72 #

Sonunda şunu söyleyebiliriz: # | Y | # büyür, # -144y ^ 2 + 20y + 1 # daha az olacak #0#. Bu yüzden sadece arasındaki aralığı göz önünde bulundururuz

#y = (5 metrekare (61)) / 72 # ve #y = (5 + sqrt (61)) / 72 #

Yani izin verilen değerler • y #ve bu nedenle #f (x) #, # 5-sqrt (61)) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72 #