Log_8 (1-x) + (10log_32 (x)) / 3-log_2 (e ^ ln (1 / x) / 3) = 4/3 ise x nedir?

Cevap:

Çözüm yok # RR #.

Açıklama:

Her şeyden önce, biraz basitleştirelim:

Gibi # E ^ x # ve #ln (x) # ters fonksiyonlardır, # e ^ ln (x) = x # yanı sıra tutar #ln (e ^ x) = x #. Bu, üçüncü logaritmik teriminizi basitleştirebileceğiniz anlamına gelir:

# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 ((1 / x) / 3) = 4/3 #

# <=> log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #

Bir sonraki hedefiniz tüm getirmek # Günlüğü # Aynı temelde çalışır, böylece üzerlerinde logaritma kurallarını kullanma ve basitleştirme şansınız olur.

Logaritma tabanını aşağıdaki gibi değiştirebilirsiniz:

#log_a (x) = log_b (x) / log_b (a) #

Tabanı değiştirmek için bu kuralı kullanalım. #8# arasında # Log_8 # ve taban #32# arasında # Log_32 # tabanına #2#:

# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #

# <=> (log_2 (1-x)) / (log_2 (8)) + (10 log_2 (x)) / (3 log_2 (32)) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #

Şimdi hesaplayabiliriz # log_2 (8) = 3 # ve # log_2 (32) = 5 #

(net olmadığı durumda, sadece emin olmak için kırmama izin verin: # log_2 (8) = x <=> 2 ^ (log_2 (8)) = 2 ^ x <=> 8 = 2 ^ x <=> 2 ^ 3 = 2 ^ x #)

Bu bizi şu, daha basit, logaritmik denklemlere yönlendirir:

# (log_2 (1-x)) / 3 + (10 log_2 (x)) / (3 * 5) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #

# <=> 1/3 log_2 (1-x) + 2/3 log_2 (x) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #

… iki tarafı da çarp #3#…

# <=> log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #

Şimdi logaritma kurallarını kullanmaya hazırız:

#log_a (x * y) = log_a (x) + log_a (y) # ve #log_a (x ^ y) = y * log_a (x) #

Amaç sadece bir tane olmak # Günlüğü # sol tarafta. Haydi Yapalım şunu.:)

# log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #

# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 ((1 / (3x)) ^ (- 3)) = 4 #

# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 (27 x ^ 3) = 4 #

# <=> log_2 ((1-x) * x ^ 2 * 27 x ^ 3) = 4 #

# <=> log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #

Bu noktada, biz kurtulabilirsiniz # Log_2 (a) # ters işlevi uygulayarak 2. ^ a # denklemin her iki tarafına.

# log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #

# <=> 2 ^ (log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6)) = 2 ^ 4 #

# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 2 ^ 4 #

# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 16 #

# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 = 16/27 #

# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 = 0 #

Ne yazık ki, bu denklemin nasıl çözüleceğini bilmediğim için şu anda sıkışıp kaldığımı itiraf etmeliyim.

Ancak, komplo #f (x) = - x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 # bana bu denklemin çözümleri olmadığını söyler. # RR #.

grafik {- x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 -9.63, 10.37, -4.88, 5.12}

Umarım bu biraz yardımcı oldu!