Bir ikizkenar üçgeninin iki köşesi (8, 3) ve (5, 4) 'tedir. Üçgenin alanı 4 ise, üçgenin kenarlarının uzunluğu nedir?

Cevap:

Tarafların uzunluğu #sqrt 10, sqrt 10, sqrt 8 # ve puanlar # (8,3), (5,4) ve (6,1) #

Açıklama:

Üçgenin noktaları olsun # (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3). #

Üçgenin alanı A = # ((x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2)) / 2) #

verilmiş # A = 4, (x_1, y_1) = (8,3), (x_2, y_2) = (5,4) #

İkame aşağıdaki alan denklemine sahibiz:

# ((8 (4 - y_3) + 5 (y_3 - 3) + x_3 (3 - 4)) / 2) = 4 #

# ((8 (4 - y_3) + 5 (y_3 - 3) + x_3 (3 - 4)) = 8 #

# (32 - 8y_3) + (5y_3 - 15) + (-1x_3) = 8 #

# 17 - 3y_3 -x_3 = 8 #

# - 3y_3 -x_3 = (8-17) #

# - 3y_3 -x_3 = -9 #

# 3y_3 + x_3 = 9 # ----> Denklem 1

Noktalar arasındaki mesafe #(8,3), (5,4)# Uzaklık formülünü kullanarak

#sqrt ((8-5) ^ 2 + (3-4) ^ 2) # = #sqrt (3 ^ 2 + (- 1) ^ 2) # = #sqrt 10 #

Noktalar arasındaki mesafe # (x_3, y_3), (5,4) # Uzaklık formülünü kullanarak

#sqrt ((x_3 -5) ^ 2 + (y_3 - 4) ^ 2) # = #sqrt 10 #

Her iki tarafın karesini alma ve değiştirme # x_3 = 9 - 3y_3 # Denklem 1'den ikinci dereceden bir denklem elde ettik.

# (9-3y_3 - 5) ^ 2 + (y_3 - 4) ^ 2 = 0 #

# (4-3y_3) ^ 2 + (y_3 - 4) ^ 2 = 0 #

Bunu çarpanlara ayırdık # (y-1) (10y-22) = 0 #

y = 1 veya y = 2.2. y = 2.2 atılabilir. Bu nedenle, üçüncü nokta (6,1) olmalıdır.

Noktalar için mesafeleri hesaplayarak # (8,3), (5,4) ve (6,1) #aldık # sqrt 8 # tabanın uzunluğu için.