Düzenli bir dodecagon alanını bulmak için formül nedir?

Cevap:

#S _ ("normal dodecagon") = (3 / (tan 15 ^ @)) "taraf" ^ 2 ~ = 11.196152 * "taraf" ^ 2 #

Açıklama:

Bir daireye yerleştirilmiş düzenli bir dodagon düşünerek, tarafları çemberin yarıçapı, çemberin yarıçapı ve dodekagonun tarafı olan 12 ikizkenar üçgenden oluştuğunu görebiliriz; Bu üçgenlerin her birinde, Dodecagon'un tarafına zıt açı eşittir. #360^@/12=30^@#; bu üçgenlerin her birinin alanı # ("Yan" * "yükseklik) / 2 #sorunu çözmek için yalnızca on iki tarafın yanına dik bir yükseklik belirlememiz gerekir.

Sözü edilen ikizkenar üçgende, tabanı ondokunun yan tarafı ve eşit yanları dairenin yarıçapı olan açı, tabana zıt olan#alfa#) eşittir #30^@#, yalnızca dairenin yarıçaplarının birleştiği tepe noktasından bir çizgi var (C noktası dodecagon'un tarafını dik olarak kesen: bu çizgi açıyı keser #alfa# ayrıca, C noktasıyla tabanın tutulduğu nokta arasındaki üçgenin yüksekliğini tanımlar (M noktası) yanı sıra, tabanı iki eşit parçaya böler (hepsi bu şekilde oluşturulan iki küçük üçgen eşlenik olduğundan).

Bahsedilen daha küçük iki üçgen doğru olanlardır çünkü ikizkenar üçgenin yüksekliğini şu şekilde belirleyebiliriz:

#tan (alpha / 2) = "zıt kateter" / "bitişik kateter" # => #tan (30 ^ @ / 2) = ("taraf" / 2) / "yükseklik" # => #height = "taraf" / (2 * tan 15 ^ @) #

O zaman biz var

#S_ (dodecagon) = 12 * S_ (üçgen) = 12 * (("taraf") ("yükseklik")) / 2 = 6 * ("taraf") ("taraf") / (2 * tan 15 ^ @) # => #S_ (dodecagon) = 3 * ("taraf") ^ 2 / (tan 15 ^ @) #