İnt_1 ^ e (lnx) / (2x) dx nedir?

Cevap:

#= 1/4#

Açıklama:

# int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx #

# = int_1 ^ e d / dx (1/4ln ^ 2x) dx #

# = 1/4 1 ^ 2x _1 ^ e #

# = 1/4 1 ^ 2 - 0 _1 ^ e = 1/4 #

Cevap:

#1/4#

Açıklama:

Bunu birkaç şekilde yapabilir, işte bunlardan ikisi. İlki, bir ikame kullanmaktır:

#color (kırmızı) ("Yöntem 1") #

# int_1 ^ e (ln (x)) / (2x) dx = 1/2 int_1 ^ e (ln (x)) / (x) dx #

let #u = ln (x) du = (dx) / x # anlamına gelir

Limitleri dönüştürmek:

#u = ln (x) u anlamına gelir: 0 rarr 1 #

İntegral olur:

# 1 / 2int_0 ^ 1 u = 1/2 1 / 2u ^ 2 _0 ^ 1 = 1/2 * 1/2 = 1/4 #

Bu daha basit yoldur, ancak her zaman bir oyuncu değişikliği yapamayabilirsiniz. Bir alternatif, parçalarla entegrasyondur.

#color (kırmızı) ("Yöntem 2") #

Parçalarla entegrasyonu kullanın:

Fonksiyonlar için #u (x), v (x) #:

#int uv 'dx = uv - int u'v dx #

#u (x) = ln (x) u '(x) = 1 / x # anlamına gelir

#v '(x) = 1 / (2x) v (x) = 1 / 2ln (x) # anlamına gelir

#int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) - int (ln (x)) / (2x) dx #

Gibi terimleri gruplama:

# 2 int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) + C #

# int'den önce (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) + C #

Yine de kesin bir integralle çalışıyoruz, bu yüzden limitleri uygulamak ve sabiti kaldırmak:

#int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) _ 1 ^ e #

# = 1 / 4ln (e) 1 (e) - 1 / 4ln (1) 1 (4) #

#ln (e) = 1, ln (1) = 0 #

# int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1/4 # kullanır