Arcsin x + arccos x = pi / 2'yi nasıl ispatlarsın?

Cevap:

gosterildigi gibi

Açıklama:

let

# Arcsinx = teta #

sonra

#, X = sintheta = cos (p / 2-teta) #

# => Arccosx = pi / 2-teta = pi / 2-arcsinx #

# => Arccosx = pi / 2-arcsinx #

# => Arcsinx + arccosx = pi / 2 #

Cevap:

Ters trig fonksiyonları asıl değerlere atıfta bulunduğunda ifade doğrudur, ancak bu, diğer cevapların sağladığından daha fazla dikkat gösterilmesini gerektirir.

Ters trig fonksiyonları çok değerli göz önüne alındığında, örneğin daha hassas bir sonuç elde ederiz.

#x = sin ({3 pi} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} dört # fakat #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi. #

Almak için çıkarmak zorundayız # Pi / 2 #.

Açıklama:

Bu, göründüğünden daha zor. Diğer cevap buna saygı göstermiyor.

Küçük harf kullanmak genel bir kongredir. #arccos (x) # ve #arcsin (x) # çok değerli ifadeler olarak, her biri sırasıyla kosinüs veya sinüsü belirli bir değere sahip olan tüm değerleri belirtir # X #.

Bunların toplamının anlamı gerçekten her olası kombinasyondur ve bunlar her zaman vermeyecek # Pi / 2. # Her zaman, ortak açılardan birini bile vermezler # pi / 2 + 2pi dörtlü # tamsayı # K, şimdi göstereceğimiz gibi.

Önce çok değerlenmiş ters trig fonksiyonlarıyla nasıl çalıştığını görelim. Genel olarak hatırla # cos x = çünkü bir # çözümleri var # x = pm a + 2pi kd # tamsayı # K.

# c = arccos x # gerçekten demek

#x = c çünkü c #

#s = arcsin x # gerçekten demek

#x = günah s #

#y = s + c #

# X # süpürüp götüren gerçek bir parametrenin rolünü oynuyor #-1# için #1#. Çözmek istiyoruz • y #, olası tüm değerleri bulmak • y # olan bir #x, s # ve # C # bu eşzamanlı denklemleri yapar #x = cos c, x = sin s, y = s + c # doğru.

#sin s = x = cos c #

#cos (pi / 2 - s) = çünkü c #

Yukarıdaki genel çözümümüzü kosinüslerin eşitliği konusunda kullanıyoruz.

# pi / 2 - s = pm c + 2pi dörtlü # tamsayı # K

# s pm c = pi / 2 - 2pi k #

Böylece çok daha titiz bir sonuç elde ediyoruz.

#arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(Tabelayı çevirmek için izin verilir # K. #)

Şimdi büyük harflerle yazdığım ana değerlere odaklanalım:

Göstermek #text {Ark} metin {sin} (x) + metin {Ark} metin {cos} (x) = pi / 2 #

Bu ifade, olağan şekilde tanımlanan temel değerler için doğrudur.

Toplam sadece tanımlanmıştır (karmaşık sayılarla oldukça derinleşene kadar). # -1 le x le 1 # çünkü geçerli sinüsler ve kosinüsler bu aralıkta.

Eşdeğerin her iki tarafına bakacağız

# text {Ark} metin {cos} (x) stackrel {?} {=} pi / 2 - metin {Ark} metin {sin} (x) #

İki tarafın kosinüsünü alacağız.

#cos ({Arc} metni {cos} (x)) = x #

#cos (pi / 2 - metin {Ark} metin {sin} (x)) = günah (metin {Ark} metin {sin} (x)) = x #

Bu yüzden işaretler veya temel değerler hakkında endişelenmeden eminiz

#cos (metin {Ark} metin {cos} (x)) = cos (pi / 2 - metin {Ark} metin {sin} (x)) #

Zor kısım, saygıyı hak eden kısım, bir sonraki adımdır:

#text {Ark} metin {cos} (x) = pi / 2 - metin {Ark} metin {sin} (x) dört # Emin değilim

Dikkatli bir şekilde basmalıyız. Olumlu ve olumsuz alalım # X # ayrı ayrı.

İlk # 0 le x le 1 #. Bu, her iki ters trig fonksiyonunun temel değerlerinin, ilk çeyreğinde, arasında #0# ve # Pi / 2. # Birinci kadranla sınırlandırılmış, eşit kosinüsler eşit açılar anlamına gelir; #x ge 0, #

#text {Ark} metin {cos} (x) = pi / 2 - metin {Ark} metin {sin} (x) dört #

şimdi # -1 le x <0. # Ters işaretin asıl değeri dördüncü kadrandadır ve #x <0 # genellikle aralıktaki temel değeri tanımlarız

# - pi / 2 le metin {Arc} metin {sin} (x) <0 #

# pi / 2 ge - metin {Ark} metin {sin} (x)> 0 #

#pi ge pi / 2 - metin {Ark} metin {sin} (x)> pi / 2 #

# pi / 2 <pi / 2 - metin {Ark} metin {sin} (x) le pi #

Negatif ters kosinüsün temel değeri ikinci kadrandır, # pi / 2 <text {Yay} metni {cos} (x) le pi #

Bu nedenle, ikinci çeyreğinde kosinüsleri eşit olan iki açımız var ve açıları eşit olduğu sonucuna varabiliriz. İçin #x <0 #, #text {Ark} metin {cos} (x) = pi / 2 - metin {Ark} metin {sin} (x) dört #

Öyle ya da böyle

# text {Arc} metin {sin} (x) + metin {Arc} metin {cos} (x) = pi / 2 dört sqrt #