GDC nedir (2 ^ 32-2 ^ 24 + 2 ^ 16-2 ^ 8 + 1, 2 ^ 8 + 1)?

Cevap:

En büyük ortak bölen #2^32-2^24+2^16-2^8+1# ve #2^8+1# olduğu #1#

Açıklama:

Bunu not et:

#257 = 2^8+1 = 2^(2^3)+1#

asal bir sayıdır - gerçekte az bilinen Fermat asal sayılarından biridir.

Yani tek olası ortak faktörler #2^8+1# ve #2^32-2^24+2^16-2^8+1# Hangi #1# ve #257#.

Ancak, soruda belirttiğiniz gibi:

#2^32-2^24+2^16-2^8+1 = (2^40+1)/(2^8+1)#

biçimindedir:

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x ^ 5 + y ^ 5) / (x + y) #

Bir faktör # (x + y) = 2 ^ 8 + 1 # arasında #2^40+1# Birliğin gerçek beşinci köküne karşılık gelir ve # (X + y) # otomatik olarak kalan kuartik bir faktör değildir # X, ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # Diğer doğrusal faktörlerin hepsi gerçek olmayan karmaşık.

Manuel olarak bölebiliriz # X, ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # tarafından #, X + y # polinom kalanı almak ve sonra yerine koymak #, X = 2 ^ 8 # ve • y = 1 # Bunun özel bir durum olmadığını kontrol etmek için …

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x + y) (x ^ 3-2x ^ 2y + 3xy ^ 2-4y ^ 3) + 5y ^ 4 #

Yani geri kalan:

# 5y ^ 4 = 5 (renkli (mavi) (1)) ^ 4 = 5 #

Kalan sıfır olmadığından, #2^32-2^24+2^16-2^8+1# ve #2^8+1# ortak bir faktöre sahip değildir #1#.