(2x + 3) ^ 3 için binom genişlemesini nasıl buluyorsunuz?

Cevap:

# (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Açıklama:

Pascal üçgeni ile, her binom genişlemesini bulmak kolaydır:

Bu üçgenin her terimi, en üst satırda iki terimin toplamının sonucudur. (örnek kırmızı)

#1#

#1. 1#

#color (mavi) (1. 2. 1) #

# 1. renk (kırmızı) 3. renk (kırmızı) 3. 1 #

# 1. 4. renk (kırmızı) 6. 4. 1 #

…

Dahası, her satır bir binom genişletme bilgisine sahiptir:

Güç için ilk hat #0#

Güç için 2. #1#

Güç için 3. #2#…

Örneğin: # (A + b) ^ 2 # Bu genişletmeyi takiben 3. çizgiyi mavi olarak kullanacağız:

# (a + b) ^ 2 = renk (mavi) 1 * a ^ 2 * b ^ 0 + renk (mavi) 2 * a ^ 1 * b ^ 1 + renk (mavi) 1 * a ^ 0 * b ^ 2 #

Sonra: # (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

Güce #3#:

# (a + b) ^ 3 = renk (yeşil) 1 * a ^ 3 * b ^ 0 + renk (yeşil) 3 * a ^ 2 * b ^ 1 + renk (yeşil) 3 * a ^ 1 * b ^ 2 + renk (yeşil) 1 * a ^ 0 * b ^ 3 #

Sonra # (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #

Yani burada biz var #color (kırmızı) (a = 2x) # ve #color (mavi), (b = 3) #:

Ve # (2x + 3) ^ 3 = renk (kırmızı) ((2x)) ^ 3 + 3 * renk (kırmızı) ((2x)) ^ 2 * renk (mavi) 3 + 3 * renk (kırmızı) ((2x)) * renk (mavi) 3 ^ 2 + renk (mavi) 3 ^ 3 #

Bu nedenle: # (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Cevap:

# (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Açıklama:

# (2x + 3) ^ 3 #

Bir sum yönteminin küpünü kullanın. # (A + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #.

# Bir = 2x; # # B = 3 #

# (2x + 3) ^ 3 = (2x) ^ 3 + (3 x 2 x ^ 2 x 3) + (3 x 2 x * 3 ^ 2) + 3 ^ 3 # =

# 8x ^ 3 + (3 * 4x * 3 ^ 2) + (3 * 2x * 9) + 27 # =

# 8x ^ 3 + (9 * 4x ^ 2) + (27 * 2x) + 27 # =

# 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #