P asal olduğunda p 12 ^ (p-1) 'in kalanı nedir?

Cevap:

Kalan eşittir #0# ne zaman # P # ya #2# veya #3#ve eşittir #1# diğer tüm asal sayılar için.

Açıklama:

Her şeyden önce bu sorunun değerini bulmak zorunda olarak yeniden ifade edilebilir # 12 ^ (p-1) mod p # nerede # P # asal bir sayıdır.

Bu sorunu çözmek için Euler Teoremini bilmeniz gerekir. Euler Teoremi #a ^ { varphi (n)} - = 1 mod n # herhangi bir tamsayı için # Bir # ve # N # bu bir başka şey değil (herhangi bir faktör paylaşmıyorlar). Ne olduğunu merak ediyor olabilirsiniz # varphi (n) # olduğunu. Bu aslında totient işlevi olarak bilinen bir işlevdir. Tam sayı sayısına eşit olarak tanımlanır # <= N # Öyle ki bu tamsayılar # N #. Bu sayı unutmayın #1# Tüm tamsayılar için kopya olarak kabul edilir.

Artık Euler Teoremini bildiğimize göre, bu sorunu çözmeye devam edebiliriz.

Dışındaki tüm asalların olduğuna dikkat edin. #2# ve #3# beraberce #12#. 2 ve 3'ü daha sonra bir kenara koyalım ve geri kalanların üzerine odaklanalım. Diğer asal sayılar 12'ye eşit olduğundan, Euler Teoremini onlara uygulayabiliriz:

# 12 ^ { varphi (p)} - = 1 mod p #

Dan beri # P # asal bir sayıdır, # Varphi (p) p,-1 # =. Bu mantıklı çünkü her asal sayıdan daha az olan sayı onunla aynı şekilde olacaktır.

Bu nedenle şimdi biz var # 12 ^ {p-1} - = 1 mod p #

Yukarıdaki ifade çevrilebilir 12. ^ {p-1} # bölü # P # kalanı var #1#.

Şimdi hesap açmamız gerekiyor #2# ve #3#, daha önce de söylediğiniz gibi, her ikisinde de #0#.

Bu nedenle, bunu tamamen kanıtladık. 12. ^ {p-1} # bölü # P # nerede # P # asal sayının kalanı #0# p ya da #2# veya #3# ve kalanı #1# aksi takdirde.