Bir üçgenin A (a, b), C (c, d) ve O (0, 0) köşeleri vardır. Üçgenin sınırlı dairesinin denklemi ve alanı nedir?

Cevap:

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s dört # nerede

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

#A = pi s #

Açıklama:

Soruyu genelleştirdim; Bakalım nasıl gidiyor? Kökeninde bir köşeyi bıraktım, bu da onu daha az karışık hale getiriyor ve keyfi bir üçgen kolayca çevriliyor.

Üçgen elbette bu soruna tamamen önemsizdir. Sınırlandırılmış daire, üç nokta olan üç noktadan geçen dairedir. Üçgen, çözümde sürpriz bir görünüm yaratıyor.

Bazı terminoloji: Sınırlandırılmış daireye üçgenin adı verilir. circumcircle ve merkezinde üçgenin circumcenter.

Merkezli bir çemberin genel denklemi # (P, q) # ve kare yarıçapı # s # olduğu

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s #

ve dairenin alanı # A = pi s. #

Üç bilinmeyenimiz var #, P, q, s # ve üç nokta biliyoruz, bu yüzden üç denklem elde ediyoruz:

# p ^ 2 + q ^ 2 = s dört # çünkü kaynak daire üzerinde.

# (a-p) ^ 2 + (b-q) ^ 2 = s #

# (c-p) ^ 2 + (d-q) ^ 2 = s #

Eş zamanlı denklemleri çözelim. Şimdi kaybetme anlamına gelen çiftleri genişleterek ve çıkararak iki doğrusal denklem haline getirelim. # P ^ 2 + q ^ 2 # solda ve # s # sağda.

# a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s #

Çıkarma, # a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0 #

# 1/2 (a ^ 2 + b ^ 2) = ap + bq #

Benzer şekilde, # 1/2 (c ^ 2 + d ^ 2) = cp + dq #

Bu iki bilinmeyenli iki denklem. # AX = K # çözümü var # X = A ^ {- 1} K. # Biçimlendirmeyi bilmediğim, ikilik iki matris tersini hatırlıyorum.

#A ^ {- 1} = 1 / {ad-bc} (stackrel {d, -b} {-c, a}) #

Bizim için bu demek oluyor ki

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

ve bir kare yarıçapı

#s = p ^ 2 + q ^ 2 #

#s = {(d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)) ^ 2 + (a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)) ^ 2} / {4 (reklam) ^ 2} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

yani bir alan # Pi # bu miktarın

Keyfi üçgenin ne olduğunu düşünürsek, ifadenin daha simetrik hale geldiğini görebiliriz. # (A, B), (C, D), (E, F). # Ayarladık # A = A-E, ## b = B-F, ## c = C-E, ## d = D-F # ama şimdi bunu çözmeyeceğim.

Payını not edeceğim # s # üçgenin kenarlarının üç kare uzunluğunun ürünü ve # s # üçgenin kare alanının on altı katıdır.

Rasyonel Trigonometride kare uzunlukları denir. quadrances ve on altı kez kare alan quadrea. Çemberin yarıçapının kadranını, kadranı bölü üçgenin kadranlarının çarpımı olarak bulduk.

Sadece çemberin yarıçapına veya alanına ihtiyaç duyarsak, sonucu şöyle özetleyebiliriz:

Daire dairenin kare yarıçapı, üçgenin kare alanının on altı katı bölünen üçgenin kare uzunluklarının ürünüdür.

# r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2} #