1 / sinx'in antiderivatif nedir?

Cevap:

Bu # -ln abs (cscx + karyola x) #

Açıklama:

# 1 / sinx = cscx = cscx (cscx + cotx) / (cscx + cotx) #

# = (csc ^ 2 x + csc x karyola x) / (cscx + karyola) #

Pay, paydatörün türevinin tersidir ('negatif').

Yani antiderivatif eksi paydanın doğal logaritmasıdır.

# -ln abs (cscx + karyola x) #.

(Eğer ikame tekniğini öğrendiyseniz, kullanabiliriz. #u = cscx + karyola x #, yani #du = -csc ^ 2 x - cscx cotx #. İfade olur # -1 / u du #.)

Bu cevabı farklılaştırarak doğrulayabilirsiniz.

Buna farklı bir yaklaşım

# INT1 / sinxdx # #=#

# İntsinx / sin ^ 2xdx #

# İntsinx / (1-cos ^ 2x) dx #

Vekil

# Cosx = u #

# -Sinxdx = du #

# Sinxdx = -du #

#=# # -İnt1 / (1-u ^ 2) du #

• # 1 / (1-u ^ 2) = = A / (u-1) + B / (u + 1) 1 / (1 +) ı (u-1) (u) #=#

# (A (u + 1) B (u-1)) / ((u-1) (u + 1)) #

İhtiyacımız var #A (u + 1) B (u-1) = 1 # #<=>#

# Au + A + Bu-B = 1 # #<=>#

# (A + B), u + A-B = 1 # #<=>#

# (A + B) u + A-B = 0U + 1 # #<=>#

# {(A + B = 0 ""), (A-B = 1 ""):} # #<=>#

# {(A + B = 0 ""), (A = B + 1 ""):} # #<=>#

# {(B + 1 + B = 0 ""), (A = B + 1 ""):} # #<=>#

# {(B = -1 / 2 ""), (A = 1/2 ""):} #

Bu nedenle, # -İnt1 / (1-u ^ 2) du # #=#

# -INT ((1/2) / (u-1) - (1/2) / (u + 1)) du # #=#

1. / 2int (1 / (u + 1) -1 / (u-1)) du # #=#

1. / 2int (((u + 1) ') / (u + 1) - ((u-1)') / (u-1)) du # #=#

# 1/2 (ln | u + 1 | -ln | u-1 | + c) '# #=#

# 1/2 (ln (| u + 1) / (u-1) | + c) '# #=#

# 1/2 (ln (| cosx + 1) / (cosx-1) | + c) '# #=#

# 1/2 (ln | (1-cosx) / (1 + cosx) | + c) '#

#ln | tan (x / 2) | + c '#, # (C, C ') ##içinde## RR #