Soru # 0df97

Cevap:

4'ün cevabı: # E ^ -2 #.

Açıklama:

Problem şu:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2 x + 2) #

Şimdi bu zor bir problem. Çözüm, çok dikkatli bir şekilde örüntü tanımada yatmaktadır. Tanımını hatırlayabilirsiniz # E #:

# E = lim_ (u> oo) (1 + 1 / u) ^ u ~~ 2,718 … #

Sınırı tanımına yakın bir şey olarak yeniden yazabilirsek # E #, cevabımızı alırdık. Öyleyse deneyelim.

Bunu not et #lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2 x + 2) # eşittir:

#lim_ (x-> oo) (= 4-2 (2x) / (2x + 4)) ^ (2 x + 2) #

Bunun gibi kesirleri bölebiliriz:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4) / (2x + 4) -2 + 4 / (2x)) ^ (2 x + 2) #

# = Lim_ (x-> oo) ^ (2 x + 2) # (+ 4) 1-2 / (2x)

Oraya gidiyoruz! Bir faktöre bakalım #-2# üstten ve alttan:

#lim_ (x-> oo) (+ 4 olarak 12 / (2x)) ^ (2 x + 2) #

# = Lim_ (x-> oo) (1 + ((- 2)) / (- 2 (-x-2))) ^ (2 + 2x) #

# -> lim_ (x-> oo) (1+ (iptal (-2)) / (iptal (-2) (- a-2))) ^ (2 x + 2) #

# = Lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- a-2)) ^ (2 x + 2) #

Yer değiştirmeyi uygulayalım # U = -x-2-> x = -2-U #:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- a-2)) ^ (2 x + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (2 (2-u) + 2 #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 4-2u + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) #

Üslerin özellikleri şöyle diyor: # X, ^ (a + b) = x ^ ax ^ b #

Yani #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) # eşittir:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Üslerin özellikleri de şöyle diyor: # X, ^ (ab) = x ^ (a ^ b) #

Bu, bunun daha da azaldığı anlamına gelir:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = Lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Tanım olarak, #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (u) = E #; ve ikinci limit verimde doğrudan ikame kullanılması:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = 1 / (1 + 1 / oo) ^ (2) #

#=1/(1+0)^(2)#

#=1/1^(2)=1#

Yani çözüm …

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = (E) ^ - 2 (1) #

# = E ^ -2 #