F (x) = 5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9 değerinin g (x) = 3 ^ x değerinden büyük olacağı en büyük x tamsayısı nedir?

Cevap:

#, X = 9 #

Açıklama:

Burada en büyük tamsayıyı arıyoruz:

#f (x)> g (x) #

# 5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9> 3 ^ x #

Bunu yapmamızın birkaç yolu var. Birincisi sadece tamsayıları denemektir. Temel olarak, deneyelim #, X = 0 #:

#5(0)^4+30(0)^2+9>3^0#

#0+0+9>1#

ve böylece bunu biliyoruz # X # en az 0 olduğundan negatif tamsayıları test etmenize gerek yoktur.

Soldaki en büyük gücün 4 olduğunu görebiliyoruz. Hadi deneyelim #, X = 4 # ve ne olduğunu görün:

#5(4)^4+30(4)^2+9>3^4#

#5(256)+30(4)^2+9>81#

Matematiğin geri kalanını uzak tutacağım - sol tarafın önemli miktarda daha büyük olduğu açık. Hadi deneyelim #, X = 10 #

#5(10)^4+30(10)^2+9>3^10#

#5(10000)+30(100)+9>59049#

#50000+3000+9>59049#

yani #, X = 10 # çok büyük. Cevabımızın 9 olacağını düşünüyorum. Kontrol edelim:

#5(6561)+30(81)+9>19683#

#32805+30(81)+9>19683#

ve yine, sol tarafın sağdan daha büyük olduğu açık. Yani son cevabımız #, X = 9 #.

Bunu bulmanın başka yolları nelerdir? Grafiği deneyebilirdik. Bunu olarak ifade edersek # (5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x = 0 #, şuna benzeyen bir grafik alırız:

grafik {(5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x 0, 11, -10000, 20000}

ve cevabın tepede dolaştığını görebiliriz. #, X = 8.5 # işareti, hala olumlu #, X = 9 # ve ulaşmadan önce negatif olur #, X = 10 # - yapma #, X = 9 # en büyük tam sayı.

Bunu başka nasıl yapabiliriz? Çözebiliriz # (5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x> 0 # cebirsel.

# 5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9-3 ^ x> 0 #

Matematiği kolaylaştırmak için önce şunu fark edeceğim: # X # Arttırıldığında, sol taraf terimleri alakasızlaşmaya başlar. İlk önce, 9 tamamen ilgisiz olana kadar önemini azaltacaktır ve aynı şey # 30x ^ 2 # terim. Yani bu azalır:

# 5x ^ 4> 3 ^ x #

#log (5x ^ 4)> log (3 ^ x) #

# 4log5x> xlog3 #

# 4log5 + 4logx> xlog3 #

# (4log5 + 4logx) / log3> x #

ve sanırım bu işi karıştırıyorum! cebir bu soruna yaklaşmanın kolay bir yolu değil!