Bu denklemi nasıl çözerim?

Cevap:

# "Açıklamaya bak" #

Açıklama:

# "İlk rasyonel kök teoremini rasyonel kökleri bulmak için uygulayın." #

# "" X = 1 "i rasyonel kök olarak buluruz." #

# "Öyleyse" (x-1) "bir faktördür. Bu faktörü uzaklara bölüyoruz:" #

# 3 x ^ 4 - 5 x ^ 3 + 2 = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

# "Mantıklı kökleri olmayan kalan bir kübik denklemimiz var." #

# "Vieta yönteminin yerine geçerek çözebiliriz." #

# x ^ 3 - (2/3) x ^ 2 - (2/3) x - 2/3 = 0 #

# "Değiştir" x = y + 2/9 ". Sonra" # alıyoruz

# y ^ 3 - (22/27) y - (610/729) = 0 #

# "Yedek" y = (sqrt (22) / 9) z ". Sonra alırız" #

# z ^ 3 - 3 z - 5,91147441 = 0 #

# "İkame" z = t + 1 / t ". Sonra alırız" #

# t ^ 3 + 1 / t ^ 3 - 5,91147441 = 0 #

# "" U = t ^ 3 "deyiminin değiştirilmesi, ikinci dereceden denklemi verir:" #

# u ^ 2 - 5,91147441 u + 1 = 0 #

# "Bu ikinci dereceden denklemin kökü u = 5.73717252'dir." #

# "Değişkenleri geri yerine koyma, verim:" #

#t = root (3) (u) = 1.79019073 #

#z = 2.34879043. #

#y = 1.22408929. #

#x = 1.44631151. #

# "Diğer kökler karmaşıktır:" #

# -0.38982242 pm 0.55586071 i. #

# "(Bölünerek bulunabilirler" (x-1.44631151)) #

Cevap:

Rasyonel gerçek sıfır #, X = 1 #.

O zaman bir irrasyonel gerçek sıfır var:

# x_1 = 1/9 (2 + kök (3) (305 + 27sqrt (113)) + kök (3) (305-27sqrt (113))) #

ve ilgili gerçek olmayan karmaşık sıfırlar.

Açıklama:

Verilen:

# 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 = 0 #

Katsayıların toplamının #0#.

Yani: #3-5+2 = 0#

Dolayısıyla bunu anlayabiliriz #, X = 1 # sıfır #, (X-1) # bir faktör:

# 0 = 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 #

#color (beyaz) (0) = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

Kalan kübik biraz daha karmaşık …

Verilen:

#f (x) = 3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2 #

Tschirnhaus dönüşümü

Kübik çözümü daha basit hale getirmek için, Tschirnhaus dönüşümü olarak bilinen doğrusal bir ikame kullanarak kübik daha basit hale getiriyoruz.

# 0 = 243f (x) = 729x ^ 3-486x ^ 2-486x-486 #

# = (9 x 2) ^ 3-66 (9 x 2) -610 #

# = T ^ 3-66t-610 #

nerede # T = (9 x 2) #

Cardano'nun metodu

Çözmek istiyoruz:

# T ^ 3-66t-610 = 0 #

let # T = u + v #.

Sonra:

# U ^ 3 + v ^ 3 + 3 (UV-22) (u + v) -610 = 0 #

Kısıtı ekleyin # V = 22 / u # ortadan kaldırmak için # (U + v) # terim ve olsun:

# U ^ 3 + 10648 / u ^ 3-610 = 0 #

İle çarpın # U ^ 3 # ve almak için hafifçe yeniden düzenleyin:

# (U ^ 3) ^ 2-610 (u ^ 3) + 10648 = 0 #

Aşağıdakileri bulmak için ikinci dereceli formülü kullanın:

# U ^ 3 = (610 + -sqrt ((- 610) ^ 2-4 (1) (10648))) / (2 * 1) #

# = (610 + -sqrt (372.100-42.592)) / 2 #

# = (610 + -sqrt (329.508)) / 2 #

# = (610 + -54sqrt (113)) / 2 #

# = 305 + -27sqrt (113) #

Çünkü bu Gerçek ve türetme simetrik # U # ve # V #Bu köklerden birini kullanabiliriz. # U ^ 3 # ve diğeri için # V ^ 3 # Gerçek kök bulmak için:

# T_1 = kök (3) (305 + 27sqrt (113)) + kökü (3) (305-27sqrt (113)) #

ve ilgili Karmaşık kökler:

# t_2 = omega kökü (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega ^ 2 kökü (3) (305-27sqrt (113)) #

# t_3 = omega ^ 2 kökü (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega kökü (3) (305-27sqrt (113)) #

nerede # Omega = -1/2 + SQRT (3) / 2R # ilkel karmaşık küp köküdür #1#.

şimdi #, X = 1/9 (2 + T) #. Yani orijinal kübiklerimizin kökleri:

# x_1 = 1/9 (2 + kök (3) (305 + 27sqrt (113)) + kök (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_2 = 1/9 (2 + omega kökü (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega ^ 2 kökü (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_3 = 1/9 (2 + omega ^ 2 kökü (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega kökü (3) (305-27sqrt (113))) #