(Arctan (x)) / (5x) 'in x'in 0'a yaklaştığını nasıl buluyorsunuz?

Cevap:

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) = 1/5 #

Açıklama:

Bu limiti bulmak için hem pay hem de paydanın nereye gittiğine dikkat edin. #0# gibi # X # yaklaşımlar #0#. Bu, belirsiz bir form alacağımız anlamına gelir, böylece L'Hospital kuralını uygulayabiliriz.

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) -> 0/0 #

L'Hospital'in kuralını uygulayarak, pay ve paydanın türevini alıyoruz, bize

#lim_ (x-> 0) (1 / (x ^ 2 + 1)) / (5) = lim_ (x-> 0) 1 / (5x ^ 2 + 5) = 1 / (5 (0) ^ 2 +5) = 1/5 #

Bunu, fonksiyonu grafik olarak kullanarak kontrol edebiliriz. # X # yaklaşımlar.

Grafiği #arctan x / (5x) #:

grafik {(arctan x) / (5x) -0.4536, 0.482, -0.0653, 0.4025}

Cevap:

Trig kullanarak daha uzun bir yaklaşım aşağıda açıklanmaktadır.

Açıklama:

L'Hopital Kuralı ile rahat hissetmiyorsanız veya henüz maruz kalmadıysanız, sorunu çözme konusundaki başka bir yaklaşım da keskin işlev tanımını kullanmayı gerektirir.

Hatırlayın eğer # Tantheta = x #, sonra # Teta = arctanx #; bu, esasen, arkanın tanjantın tersi olduğu anlamına gelir. Bu bilgiyi kullanarak bir üçgen oluşturabiliriz. # Tantheta = x # ve # Teta = arctanx #:

Diyagramdan, açık olduğu # Tantheta = X / 1 = x #. Dan beri # Tantheta = sintheta / costheta #bunu şöyle ifade edebiliriz:

# Tantheta = x #

# -> sintheta / costheta = x #

Bu artı gerçeği kullanarak # Teta = arctanx #sınırında değişiklik yapabiliriz:

#lim_ (x-> 0) arctanx / (5x) #

# -> lim_ (theta-> arctan0) theta / (5sintheta / costheta) #

# -> lim_ (theta-> 0) theta / (5sintheta / costheta) #

Bu eşdeğerdir:

#lim_ (teta> 0) 1/5 * lim_ (teta> 0) teta * lim_ (teta> 0) costheta / sintheta #

# -> 5/1 * lim_ (teta> 0) teta / sintheta * lim_ (teta> 0) costheta #

Biz biliyoruz ki #lim_ (x-> 0) sintheta / theta = 1 #; yani #lim_ (x> 0) 1 / (sintheta / teta) = 1/1 # veya #lim_ (x> 0) teta / sintheta = 1 #. Dan beri # CoS0 = 1 #, limit şu şekildedir:

# 1/5 * lim_ (teta> 0) teta / sintheta * lim_ (teta> 0) costheta #

#->1/5*(1)*(1)=1/5#

Yakınsama tanımını kullanarak, {2 ^ -n} dizisinin n = 1'den sonsuzluğa yaklaştığını nasıl kanıtlarsınız?

Üstel fonksiyonun özelliklerini kullanarak N'yi belirlemek için | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <her m, n> n için epsilon Yakınsama tanımı, {a_n} ifadesinin şu durumlarda yakınsadığını belirtir: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Öyleyse, epsilon verildiğinde> 0, N> log_2 (1 / epsilon) ve m, n> N ile m <n As m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (mn)) Şimdi 2 ^ x her zaman olduğu gibi pozitif, (1- 2 ^ (mn)) <1, yani 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n)

(Sin ^ 2 (x ^ 2)) / (x ^ 4) sınırını x'in 0'a yaklaştığını nasıl buluyorsunuz?

1 f (x) = (sin ^ 2 (x ^ 2)) / x ^ 4'ün f '(x) = lim_ (x ila 0) (sin ^ 2 (x ^ 2)) / x ^ 4'ün f olduğunu belirtir. '(x) = lim_ (x ila 0) (günah (x ^ 2) * günah (x ^ 2)) / x ^ 4 = lim_ (x ila 0) {günah (x ^ 2) / x ^ 2 * günah (x ^ 2) / x ^ 2} = lim_ (x ila 0) sin (x ^ 2) / x ^ 2lim_ (x ila 0) sin (x ^ 2) / x ^ 2 * = 1 * 1 = 1

F (x) = (x ^ 2 - 1) / (x + 1) ^ 2 sınırını x'in -1'e yaklaştığını nasıl buluyorsunuz?

Lim_ (x -> - 1) f (x) = - oo Verilen fonksiyonda -1 kullanıldığında belirsiz bir değer olduğundan 0/0 Bazı cebirsel lim_ (x -> - 1) f (x) hakkında düşünmemiz gerekir = lim_ (x -> - 1) (x ^ 2-1) / (x + 1) ^ 2 lim_ (x -> - 1) f (x) = lim_ (x -> - 1) ((x-1) ) (x + 1)) / (x + 1) ^ 2 x + 1'i sadeleştiriyoruz lim_ (x -> - 1) f (x) = lim_ (x -> - 1) (x-1) / (x + 1) lim_ (x -> - 1) f (x) = lim_ (x -> - 1) (- 1-1) / (- 1 + 1) lim_ (x -> - 1) f (x) = lim_ (x -> - 1) -2/0 lim_ (x -> - 1) f (x) = - oo