Cos58'nin tam değerini, toplamı ve farkı, çift açılı veya yarım açılı formülleri kullanarak nasıl buluyorsunuz?

Cevap:

Tam olarak köklerinden biri #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) # nerede #T_n (x) # o # N #ilk Chebyshev Polinomu. Bu, kırk altı kökünden biri:

- Stok Vektör # 87960930730720 3200 x 3200 için telefon kartı kullanarak çalışır. + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 12 - 703996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7039965491206506506 veya sürüm: hizmet için satışına eklenebilir + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x 3678 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 301606166506506 veya sürüm: hizmet için kullanılabilir. 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

Açıklama:

# 58 ^ circ # bir katı değil 3. ^ circ #. Katları 1. ^ circ # katları değil 3. ^ circ # bir düzeltme ve pusula ile yapılamazlar ve trig fonksiyonları toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve karekök kullanma gibi tam sayıların kompozisyonlarının bir sonucu değildir.

Bu, bir ifade yazamayacağımız anlamına gelmez. #cos 58 ^ circ #. Bir faktör demek için derece işaretini alalım # {2pi} / 360 #.

# e ^ {i 58 ^ circ} = çünkü 58 ^ circ + i sin 58 ^ cir #

#e ^ {- i 58 ^ circ} = çünkü 58 ^ circ - i sin 58 ^ circ #

# e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ} = 2 cos 58 ^ circ #

#cos 58 ^ circ = 1/2 (e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ}) #

Bu yararlı değil.

Köklerinden biri olan bir polinom denklemi yazmayı deneyebiliriz #cos 58 ^ circ # ama muhtemelen sığmayacak kadar büyük olacak.

# Teta = 2 ^ devir daim # olduğu #180#bir dairenin th. Dan beri #cos 88 ^ circ = -cos 92 ^ circ # bunun anlamı #cos 2 ^ circ # tatmin

#cos (44 teta) = -cos (46 teta) #

#cos (180 ^ yaklaşık -44 teta) = cos (46 teta) #

Bunu çözelim. # Teta # ilk. #cos x = çünkü bir # kökleri var # x = pm a + 360 ^ yaklaşık k, # tamsayı # K.

# 180 ^ yaklaşık -46 teta = pm 44 teta - 360 ^ yaklaşık k #

# 46 theta pm 44 theta = 180 ^ yaklaşık + 360 ^ yaklaşık k #

#theta = 2 ^ circ + 4 ^ circ k veya theta = 90 ^ circ + 180 ^ circ k #

Çok fazla kök var ve görüyoruz # Teta = 58 ^ circ # onların arasında.

Polinomlar #T_n (x) #, birinci tür Chebyshev Polinomları olarak adlandırılan #cos (n teta) = T_n (cos teta) #. Tamsayılı katsayıları var. İkili ve üçlü açı formüllerinden ilk birkaçını biliyoruz:

#cos (0 theta) = 1 dörtlü dört # yani# dört dörtlü T_0 (x) = 1 #

#cos (1 theta) = çünkü theta dörtlü dörtlü # yani# dört dörtlü T_1 (x) = x #

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 dörtlü # yani # dörtlü dörtlü T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #

#cos (3 teta) = 4cos ^ 3 teta - 3 çünkü teta dörtlü # yani # dörtlü dörtlü T_3 (x) = 4x ^ 4-3x #

Doğrulayabileceğimiz güzel bir özyineleme ilişkisi var:

# T_ {n + 1} (x) = 2x T_ {n} (x) - T_ {n-1} (x) #

Bu yüzden teoride bunları büyük için üretebiliriz. # N # umursadığımız gibi.

İzin verirsek # x = çünkü cos, # denklemimiz

#cos (44 teta) = -cos (46 teta) #

olur

#T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) #

Wolfram Alpha bize bunların ne olduğunu anlatmaktan mutlu. Denklemi sadece matematik işlemesini test etmek için yazacağım:

- Stok Vektör # 87960930730720 3200 x 3200 için telefon kartı kullanarak çalışır. + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 12 - 703996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7039965491206506506 veya sürüm: hizmet için satışına eklenebilir + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x 3678 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 301606166506506 veya sürüm: hizmet için kullanılabilir. 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

Evet, bu cevap uzun sürüyor, teşekkürler Socratic. Yine de, tamsayı katsayılı 46. derece polinomun köklerinden biri # cos 58 ^ cir #.