-3sin (arccos (2)) - cos (arc cos (3)) neye eşittir?

Cevap:

Problem çözülemez

Açıklama:

Kosinüslerinin 2 ve 3'e eşit olduğu yayları yoktur.

Analitik bir bakış açısıyla, # Arccos # işlev yalnızca #-1,1# yani #arccos (2) # & #arccos (3) # yok

Cevap:

Gerçek için # Cos # ve #günah# Bunun bir çözümü yoktur, ancak karmaşık sayıların işlevleri olarak bulduklarımız:

# -3 günah (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #

Açıklama:

Reel değerlerin Reel değerli fonksiyonları # X #, fonksiyonlar #cos (x) # ve #sin (x) # sadece aralıktaki değerleri al #-1, 1#, yani #arccos (2) # ve #arccos (3) # tanımsız

Bununla birlikte, bu fonksiyonların tanımını Karmaşık fonksiyonlara genişletmek mümkündür. #cos (Z) # ve #sin (Z) # aşağıdaki gibi:

İle başlayan:

# e ^ (ix) = çünkü x + i günah x #

#cos (-x) = cos (x) #

#sin (-x) = -sin (x) #

hesaplayabiliriz:

#cos (x) = (e ^ (ix) + e ^ (- ix)) / 2 #

#sin (x) = (e ^ (ix) -e ^ (- ix)) / (2i) #

Dolayısıyla tanımlayabiliriz:

#cos (z) = (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 #

#sin (z) = (e ^ (iz) -e ^ (- iz)) / (2i) #

Herhangi bir Karmaşık sayı için • Z.

Birden fazla değer bulmak mümkündür • Z tatmin edici #cos (z) = 2 # veya #cos (z) = 3 #Dolayısıyla, asıl değeri tanımlamak için bazı seçimler yapılabilir. #arccos (2) # veya #arccos (3) #.

Uygun adayları bulmak, çözmek # (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 = 2 #, vb.

Ancak, kimliğin # cos ^ 2 z + sin ^ 2 z = 1 # herhangi bir Karmaşık sayı için tutar • Z, böylece şunu çıkarabiliriz:

#sin (arccos (2)) = + -sqrt (1-2 ^ 2) = + -sqrt (-3) = + -sqrt (3) i #

Asıl değeri bu şekilde tanımlamanın mümkün olduğunu umuyorum. #sin (arccos (2)) = sqrt (3) i # ziyade # -sqrt (3) ben #.

Her durumda, #cos (arccos (3)) = 3 # tanım olarak.

Bunları bir araya getirmek, şunu buluruz:

# -3 günah (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #