E ^ (x ^ 3) 'un integrali nedir?

Bu integrali temel fonksiyonlar açısından ifade edemezsiniz.

Entegrasyon için neye ihtiyacınız olduğuna bağlı olarak, bir entegrasyon veya başka bir yöntem seçebilirsiniz.

Power serileri ile entegrasyon

Hatırlamak # E ^ x # analitik #mathbb {R} #, yani #forall x in mathbb {R} # aşağıdaki eşitlik geçerli

# E ^ x = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} x ^ n / {n!} #

ve bu demek oluyor ki

# E ^ {x ^ 3} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} (x ^ 3) ^ n / {n!} = Sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n} } / {n!} #

Şimdi bütünleşebilirsiniz:

#int e ^ {x ^ 3} dx = int (sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n!}) dx = c + sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n + 1}} / {(3n + 1) n!} #

Eksik Gamma Fonksiyonu ile Entegrasyon

İlk olarak, yerine # T = -X ^ 3 #:

#int e ^ {x ^ 3} dx = - 1/3 int e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

İşlev # E ^ {x ^ 3} # sürekli. Bu, ilkel işlevlerinin olduğu anlamına gelir. #F: mathbb {R} ila mathbb {R} # öyle ki

#F (y) = c + int_0 ^ y e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ {- y ^ 3} e ^ {- t} t ^ 2/3} dt #

ve bu iyi tanımlanmıştır çünkü fonksiyon #f (t) = e ^ {t t ^ {- 2/3} # öyle ki #t ila 0 # o tutar #f (t) ~~ t ^ {- 2/3} #, böylece uygunsuz integral # int_0 ^ s f (t) dt # sonlu (ben ararım # S = y ^ 3 #).

Yani buna sahipsin

#int e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ s f (t) dt #

Şunu #t ^ {- 2/3} <1 saatArr> 1 #. Bunun için #t to + infty # bunu anlıyoruz #f (t) = e ^ {- t} * t ^ {- 2/3} <e ^ {- t} * 1 = e ^ {- t} #, Böylece # | int_1 ^ {+ infty} f (t) dt | <| int_1 ^ {+ infty} e ^ {- t} dt | = e #. Böylece yanlış entegral takip #f (t), # sonlu:

# c '= int_0 ^ {+ küçük} f (t) dt = int_0 ^ {+ küçük} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt = Gama (1/3) #.

Yazabiliriz:

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 (int_0 ^ {+ infty} f (t) dt -int_s ^ {+ infty} f (t) dt) #

yani

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 c '+1/3 int_s ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt #.

Sonunda biz

#int e ^ {x ^ 3} dx = C + 1/3 Gama (1/3, t) = C + 1/3 Gama (1/3, -x ^ 3) #