Köşeleri (9, 7), (4, 4) ve (8, 6) # 'de olan bir üçgenin ortosentörü nedir?

Cevap:

Aşağıya bakınız.

Açıklama:

Köşeleri arayacağız # A = (4,4) #, # B = (9,7) # ve # C = (8,6) #.

İki tarafa dik olan ve denklemlerin ikisinden geçen iki denklem bulmamız gerekir. İki tarafın eğimini ve buna bağlı olarak dikey çizgilerden ikisinin eğimini bulabiliriz.

AB'nin Eğimi:

#(7-4)/(9-4)=3/5#

Buna dik eğim:

#-5/3#

Bunun C köşesinden geçmesi gerekir, bu nedenle çizginin denklemi şöyledir:

• y-6 = -5/3, (x-8) #, # 3y = -5x + 58 # 1

BC'nin Eğimi:

#(6-7)/(8-9)=1#

Buna dik eğim:

#-1#

Bunun A köşesinden geçmesi gerekir, bu nedenle çizginin denklemi şöyledir:

• y-4 = -, (x-4) #, • y = -x + 8 # 2

1 ve 2 'nin kesiştiği yer ortokenterdir.

1 ve 2 'yi aynı anda çözme:

3. (= X + 8) = - 5x + 58 #

# -3x + 24 = -5x + 58 #

# -3x + 24 = 5x + 58 => X = 34/2 = 17 #

2 kullanarak:

• y = -17 ile + 8 = -9 #

orthocenter:

#(17, -9)#

Üçgen geniş olduğundan, merkez merkez üçgenin dışındadır. bu, rakım çizgilerini geçene kadar uzatırsanız görülebilir.

Cevap:

orthocenter

# x_0 = 17, y_0 = -9 #

circumcenter

# X_0 = 2, y_0 = 13 #

Açıklama:

orthocenter

verilmiş # p_1, p_2, p_3 # ve

# vec v_ (12), vec v_ (13), vec v_ (23) # öyle ki

# << vec v_ (12), p_2-p_1 >> = << vec v_ (13), p_3-p_1 >> = << vec v_ (23), p_3-p_2 >> = 0 #

Bu vektörler kolayca elde edilir, örneğin

# p_1 = (x_1, y_1) # ve # p_2 = (x_2, y_2) # ve sonra

#vec v_ (12) = (y_1-y_2, - (x_1-x_2)) #

Şimdi biz var

# L_1 -> p_1 + lambda_1 vec v_ (23) #

# L_2-> p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

# L_3-> p_3 + lambda_3 vec v_ (12) #

Bu üç çizgi üçgenin merkez merkezinde kesişiyor

seçme # L_1, L_2 # sahibiz

# (x_0, y_0) = "arg" (L_1 nn L_2) # veya

# p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

denklemleri vermek

# {(<< vec v_ (13), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (13), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (13) >>), (<< vec v_ (23), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (23), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (23) >>):} #

Şimdi için çözme # Lambda_1, lambda_2 # sahibiz

# lambda_1 = -4, lambda_2 = -13 #

ve sonra

# p_0 = p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) = (17, -9) #

circumcenter

Çevre denklemi

# C-> x ^ 2 + y ^ 2-2x x_0-2y y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0 #

şimdi eğer # {p_1, p_2, p_3} C # içinde sahibiz

# {(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2-2x_1 x_0-2y_1 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-2x_2 x_0-2y_2 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2-2x_3 x_0-2y_3 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0):} #

birinciyi ikinciden çıkarma

# x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_2-x_1) -2y_0 (y_2-y_1) = 0 #

birinciyi üçüncüden çıkarmak

# x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_3-x_1) -2y_0 (y_3-y_1) = 0 #

denklem sistemini vermek

# ((x_2-x_1, y_2-y_1), (x_3-x_1, y_3-y_1)) ((x_0), (y_0)) = 1/2 ((x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2)), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2))) #

Şimdi elde ettiğimiz değerleri değiştiriyoruz

# X_0 = 2, y_0 = 13 #

Ek merkez (kırmızı) ve merkez merkez (mavi) gösteren bir arsa eklenmiştir.