[-Pi / 4, pi] 'daki teta üzerindeki r = 4theta'nın yay uzunluğu nedir?

Cevap:

#approx 27.879 #

Açıklama:

Bu bir taslak yöntemidir. Bazı çalışmaların eziyet bilgisayar tarafından yapılmıştır.

Yay uzunluğu #s = int nokta s dt #

ve #dot s = sqrt (vec v * vec v) #

Şimdi #vec r = 4 theta hat r #

#vec v = nokta r şapka r + r nokta teta şapka teta #

# = 4 nokta theta hat r + 4 theta nokta theta hat theta #

# = 4 nokta teta (şapka r + teta şapka teta) #

Yani #dot s = 4 nokta teta sqrt (1 + teta ^ 2) #

Yay uzunluğu #s = 4 int_ (t_1) ^ (t_2) sqrt (1 + theta ^ 2) nokta theta dt #

# = 4 int _ (- pi / 4) ^ (pi) sqrt (1 + teta ^ 2) d teta #

# = 2 theta sqrt (theta ^ 2 + 1) + sinh ^ (- 1) theta _ (- pi / 4) ^ (pi) # bilgisayar çözümü Yöntem için buraya bağlantılı Youtube'a bakın

#approx 27.879 # bilgisayar çözümü

[-Pi, pi] 'daki teta üzerindeki r = 3 / 4theta'nın yay uzunluğu nedir?

L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1)) birimi. > r = 3 / 4theta r ^ 2 = 9 / 16theta ^ 2 r '= 3/4 (r') ^ 2 = 9/16 Arclength şöyle verilir: L = int_-pi ^ pisqrt (9 / 16theta ^ 2 + 9/16) d teta Basitleştir: L = 3 / 4int_-pi ^ pisqrt (teta ^ 2 + 1) d theta Simetriden: L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt (teta ^ 2 + 1) d theta İkame teta uygulayın = tanphi: L = 3 / 2intsec ^ 3phidphi Bu bilinen bir integraldir: L = 3/4 [secphitanphi + ln | secphi + tanphi |] Değişimi tersine çevirin: L = 3/4 [thetasqrt (theta ^ 2 + 1) + ln | theta + sqrt (theta ^ 2 + 1) |] _0 ^ pi Bütünleşme sınırları

Şunu gösterin, (1 + cos teta + i * sin teta) ^ n + (1 + cos teta - i * sin teta) ^ n = 2 ^ (n + 1) * (cos teta / 2) ^ n * cos ( n * teta / 2)?

Lütfen aşağıya bakın. 1 + costheta + isintheta = r (cosalpha + isinalpha), burada r = sqrt ((1 + costheta) ^ 2 + sin ^ 2theta) = sqrt (2 + 2costheta) = sqrt (2 + 4cos ^ 2 (theta / 2) ) -2) = 2cos (theta / 2) ve tanalpha = sintheta / (1 + costheta) == (2sin (theta / 2) cos (theta / 2)) / (2cos ^ 2 (theta / 2)) = tan (theta / 2) veya alpha = theta / 2 sonra 1 + costheta-isintheta = r (cos (-alfa) + isin (-alfa)) = r (cosalpha-isinalpha) ve yazabiliriz (1 + costheta + isintta) ^ n + (1 + costheta-isintheta) ^ n, DE MOivre teoremini r ^ n (cosnalpha + isinnalpha + cosnalpha-isinnalpha) = 2r ^ ncosnalpha = 2 * 2 ^ ncos ^ n

480 g kütleli bir top, yay yüklü bir kasılma tarafından dikey olarak yansıtılır. Kısıtlamadaki yay, 16 (kg) / s ^ 2'lik bir yay sabitine sahiptir ve top salındığında 4/5 m ile sıkıştırılmıştır. Top ne kadar yükseğe çıkar?

H = 1,09 "" m "sıkıştırılmış yay için depolanan enerji:" E = 1/2 * k * Delta x ^ 2 k = 16 N / (m) "" Delta x = 4/5 m E = 1 / 2 * 16 * (4/5) ^ 2 E = 1/2 * 16 * 16/25 E = 5,12 J "Dünyadan yükselen bir nesne için potansiyel enerji denklemi:" E_p = m * g * hm = 480 g = 0,48 kg "" g = 9,81 N / (kg) E = E_p 5,12 = 0,48 * 9,81 * s = (5,12) / (0,48 * 9,81) h = (5,12) / (4,7088) h = 1,09 "" m