(1-3i) / sqrt (1 + 3i) değeri neye eşittir?

Cevap:

# (1-3i) / sqrt (1 + 3i) #

# = (- 2sqrt ((sqrt (10) + 1) / 2) + 3 / 2sqrt ((sqrt (10) -1) / 2)) - (2sqrt ((sqrt (10) -1) / 2) + 3 / 2sqrt ((sqrt (10) + 1) / 2)) i #

Açıklama:

Genel olarak kare kökleri # A + bi # şunlardır:

# + - ((sqrt ((sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) + a) / 2)) + (b / abs (b) sqrt ((sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) -a) / 2)) i) #

Bakınız:

Bu durumuda # 1 + 3i #, hem Gerçek hem de hayali kısımlar olumludur, bu nedenle 1. Çeyrek'tir ve iyi tanımlanmış bir ana kare kökü vardır:

#sqrt (1 + 3i) #

# = Sqrt ((sqrt (1 ^ 2 + 3 ^ 2) + 1) / 2) + sqrt ((sqrt (1 ^ 2 + 3 ^ 2) -1) / 2) i #

# = sqrt ((sqrt (10) + 1) / 2) + sqrt ((sqrt (10) -1) / 2) i #

Yani:

# (1-3i) / sqrt (1 + 3i) #

# = ((1-3i) sqrt (1 + 3i)) / (1 + 3i) #

# = ((1-3i) ^ 2 sqrt (1 + 3i)) / ((1 + 3i) (1-3i)) #

# = ((1-3i) ^ 2 sqrt (1 + 3i)) / 4 #

# = 1/4 (1-3i) ^ 2 (sqrt ((sqrt (10) +1) / 2) + sqrt ((sqrt (10) -1) / 2) i) #

# = 1/4 (-8-6i) (sqrt ((sqrt (10) +1) / 2) + sqrt ((sqrt (10) -1) / 2) i) #

# = - 1/2 (4 + 3i) (sqrt ((sqrt (10) +1) / 2) + sqrt ((sqrt (10) -1) / 2) i) #

# = - 1/2 ((4sqrt ((sqrt (10) + 1) / 2) -3sqrt ((sqrt (10) -1) / 2)) + (4sqrt ((sqrt (10) -1) / 2) + 3sqrt ((sqrt (10) + 1) / 2)) i) #

# = (- 2sqrt ((sqrt (10) + 1) / 2) + 3 / 2sqrt ((sqrt (10) -1) / 2)) - (2sqrt ((sqrt (10) -1) / 2) + 3 / 2sqrt ((sqrt (10) + 1) / 2)) i #