[-Pi, pi] 'daki x, y aralığında f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) ekstrema ve eyer noktaları nelerdir?

Cevap:

Açıklama:

Sahibiz:

# f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) #

# = -6sinxsin ^ 2y #

Adım 2 - Kritik Noktaları Belirleyin

Eşzamanlı bir çözümde kritik bir nokta ortaya çıkar

# f_x = f_y = 0 iff (kısmi f) / (kısmi x) = (kısmi f) / (kısmi y) = 0 #

yani, ne zaman:

# {: (f_x = -6cosxsin ^ 2y, = 0, … A), (f_y = -6sinxsin2y, = 0, … B):}} # eşzamanlı

A denklemini düşünün

# -6cosxsin ^ 2y = 0 #

O zaman iki çözümümüz var:

# cosx = 0 => x = + - pi / 2 #

# sin y = 0 => y = 0, + - pi #

Şimdi karşılık gelen koordinatı bulmak için Eq B kullanalım:

# x = + -pi / 2 => sin2y = 0 #

# => 2y = + -pi, + - 2pi => y = + - pi / 2, + -pi #

# y = 0, + - pi => RR # 'da x (Oluklar)

Bu bize aşağıdaki kritik noktaları verir:

# (+ -pi / 2, + -pi / 2) # (4 kritik nokta)

# (+ -pi / 2, + -pi) # (4 kritik nokta)

# (alfa, 0) RR içinde AA alfa # (oluk çizgisi)

# (alfa, + -pi) RR içinde AA alfa # (2 oluk çizgisi)

B denklemini düşünün

# -6sinxsin2y = 0 #

O zaman iki çözümümüz var:

# sinx = 0 => x = 0, + - pi #

# sin2y = 0 => 2y = 0 + - pi, + -2pi #

# => y = 0, + -pi / 2, + - pi #

Şimdi karşılık gelen koordinatı @ bulmak için Eq A kullanalım.

# x = 0, + - pi => siny = 0 => y = 0, + - pi # (yukarıdaki tekrarlar)

# y = 0 => x, RR # (yukarıdakilerin tekrarı)

# y = + -pi / 2 => cosx = 0 #

# => x = + - pi / 2 # (yukarıdaki tekrarlar)

Bu da bize ek kritik nokta vermiyor:

Adım 3 - Kritik noktaları sınıflandırın

Kritik noktaları sınıflandırmak için, ikinci kısmi türevleri ve Hessian Matrix'i kullanarak bir değişken hesabına benzer bir test yapıyoruz.

# Delta = Hf (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((kısmi ^ 2 f) / (kısmi x ^ 2), (kısmi ^ 2 f) / (kısmi x kısmi y)), ((kısmi ^ 2 f) / (kısmi y kısmi x), (kısmi ^ 2 f) / (kısmi y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Sonra değerine bağlı olarak #Delta#:

# {: (Delta> 0, "En fazla" f_ (xx) <0), (, "ve en az" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "bir eyer noktası var")), (Delta = 0, "Daha fazla analiz gerekli"):} #

Özel excel makrolarını kullanarak, kısmi türev değerleri ile birlikte işlev değerleri aşağıdaki gibi hesaplanır:

İşte fonksiyonun bir grafiği

Ve kritik noktalara (ve oluklara) sahip olan ploit

F (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ekstrema ve eyer noktaları nelerdir?

Bizde: f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) 1. Adım - Kısmi Türevleri Bulun İki ya da daha fazla bir fonksiyonun kısmi türevini hesaplıyoruz diğer değişkenler sabit olarak değerlendirilirken, bir değişkenle wrt farklılaşarak değişkenler. Böylece: İlk Türevler: f_x = {(x ^ 2 + y ^ 2 + 1) (2 (x + y + 1)) - - ((x + y + 1) ^ 2) (2x)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) (x + y + 1) - 2x (x + y + 1) ^ 2} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x + y + 1) (x ^ 2 + y ^ 2 + 1- x ^ 2-xy-x)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 f_y = { (x ^ 2

F (x) = 2x ^ 2 lnx'in ekstrema ve eyer noktaları nelerdir?

Tanım alanı: f (x) = 2x ^ 2lnx, (0, + oo) içindeki x aralığıdır. Fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerini değerlendirin: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Kritik noktalar aşağıdakilerin çözümleridir: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 ve x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) Bu noktada: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, böylece kritik nokta yerel minimumdur. Eyer noktaları aşağıdakilerin çözümleridir: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 ve f '&#

[-Pi, pi] 'daki x, y aralığında f (x, y) = 6 sin x sin y'nin ekstrema ve eyer noktaları nelerdir?

X = pi / 2 ve y = pi x = pi / 2 ve y = -pi x = -pi / 2 ve y = pi x = -pi / 2 ve y = -pi x = pi ve y = pi / 2 x = pi ve y = -pi / 2 x = -pi ve y = pi / 2 x = -pi ve y = -pi / 2 2 değişkenli bir fonksiyonun kritik noktalarını bulmak için gradyanı hesaplamanız gerekir. her değişkene göre türevlerini jelatinleştiren bir vektördür: (d / dx f (x, y), d / dy f (x, y)) Böylece d / dx f (x, y) = 6co (x) olur ) günah (y) ve benzer şekilde d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y). Kritik noktaları bulmak için, gradyanın sıfır vektörü (0,0) olması gerekir; bu, sistemin çözülme