O (0,0), P (a, b) ve Q (c, d) # 'deki köşeleri olan bir üçgenin ortosentörü nedir?

Cevap:

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Açıklama:

Yeni bir soru sormak yerine bu eski soruyu genelleştirdim. Bunu daha önce bir çevre sorusu için yaptım ve kötü bir şey olmadı, bu yüzden seriye devam ediyorum.

Cebri izlenebilir tutmak için başlangıçta bir tepe koymak gibi. Keyfi bir üçgen kolayca çevrilebilir ve sonuç kolayca geri çevrilebilir.

Ortocenter bir üçgenin rakımlarının kesişimidir. Varlığı bir üçgenin rakımlarının bir noktada kesiştiği teoremine dayanır. Üç irtifa olduğunu söylüyoruz. eşzamanlı.

OPQ üçgeninin rakımlarının eşzamanlı olduğunu ispatlayalım.

OP tarafının yön vektörü #, P-O = p = (a, b), # hangi yamaç demenin sadece süslü bir yolu # B / a # (fakat yön vektörü ayrıca # Bir = 0 #). Dikey koordinatların koordinatlarını değiştirerek ve birisini yok sayarak yön vektörünü elde ederiz. # (B, a). # Sıfır nokta ürünü tarafından dik olarak onaylanır:

# (a, b) cdot (b, -a) = ab-ba = 0 dört sqrt #

Dolayısıyla, OP'den Q'ya kadar olan rakımın parametrik denklemi şöyledir:

# (x, y) = Q + t (b, -a) = (c, d) + t (b, -a) dört # gerçek için # T #

OQ ile P arasındaki rakım benzer

# (x, y) = (a, b) + u (d, -c) dört # gerçek için # U #

PQ yön vektörü # S-p = (c-a, d-b) '#. Kökene dik, yani PQ'dan yükseklik

# (x, y) = v (db, a-c) dört # gerçek için # V #

OP ve PQ'dan gelen irtifaların buluştuğuna bakalım:

# (c, d) + t (b, -a) = v (d-b, a-c) #

İki bilinmeyenli iki denklem, # T # ve # V #.

# c + bt = v (d-b) #

# d-at = v (a-c) #

İlk ile çarpacağız # Bir # ve ikinci # B #.

# ac + abt = av (d-b) #

# bd-abt = bv (a-c) #

Ekleme, #ac + bd = v (a (d-b) + b (a-c)) = v (ad - ab + ab + bc) #

#v = {ac + bd} / {ad - bc} #

Noktadaki nokta çarpımı ile payda soğutulur ve paydadaki çarpı çarpılır.

Toplantı, varsayılan merkezdir. # (X, y) #:

# (x, y) = v (d-b, a-c) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Şimdi OQ ve PQ'dan gelen rakımlarla tanışmayı bulalım. Simetri ile değiştirebiliriz. # Bir # ile # C # ve # B # ile # D #. Sonucu arayacağız # (X 'y'). #

# (x ', y') = {ca + db} / {cb - da} (b-d, c-a) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Bu iki kavşak aynıdır bizde # (x ', y') = (x, y), # bu yüzden irtifaların eşzamanlı olduğunu kanıtladık. #quad sqrt #

Ortak kavşağın ismini haklı çıkardık. orthocenter ve onun koordinatlarını bulduk.

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #