Bir dairenin y = 7 / 2x +3 çizgisine düşen ve (1, 2) ve (8, 1) çizgisinden geçen bir merkezi vardır. Çemberin denklemi nedir?

Cevap:

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #

Açıklama:

A noktası #(1,2)# ve B noktası #(8,1)# dairenin merkezinden aynı uzaklıkta (bir yarıçap) olmalıdır

Bu, hepsi A ve B'den eşit olan noktaların (L) çizgisinde yatıyor.

İki nokta arasındaki mesafeyi (d) hesaplamak için kullanılan formül (Pisagor'dan) # d ^ 2 = (x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 #

A noktası ve L üzerinde keyfi bir nokta için bildiklerimizin yerine

# d ^ 2 = (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 #

B noktası ve L'de rastgele bir nokta için bildiklerimizin yerine

# d ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

bu nedenle

# (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Parantezleri genişletin

# x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-4y + 4 = x ^ 2-16x + 64 + y ^ 2 -2y + 1 #

basitleştirmek

# 2x + 4y = 16x + 2y - 60 #

# 2y = 14x - 60 #

#y = 7x -30 #

merkez noktası çizgide yatıyor #y = 7x - 30 # (A ve B'den eşit olan nokta kümesi)

ve hatta #y = 7x / 2 + 3 # (Verilen)

dairenin merkezini bulmak için bu iki çizginin geçtiği yeri çöz

# 7x - 30 = 7x / 2 + 3 #

# 14x -60 = 7x + 6 #

# 7x = 66 #

#x = 66/7 #

yerine koymak #y = 7x / 2 + 3 #

#y = 7 * 66 / (7 * 2) + 3 = 36 #

Dairenin merkezi #(66/7, 36)#

dairenin kare yarıçapı şimdi olarak hesaplanabilir

# r ^ 2 = (66/7 - 1) ^ 2 + (36-2) ^ 2 #

# r ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 34 ^ 2 #

Bir daire veya yarıçap için genel formül # R # olduğu

# (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2 # merkezde h, k

Şimdi biliyoruz # H #, # K ve # R ^ 2 # ve bunları çemberin genel denkleminin yerine koyabilir

# (x - 66/7) ^ 2 + (y - 36) ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 1156 #

parantezleri genişlet

# x ^ 2 - 132x / 7 + 4356/49 + y ^ 2-72y + 1296 = 3481/49 + 1156 #

ve basitleştirin

# 7x ^ 2-132x + 7y ^ 2-504y = 3481/7 -7 * 1296 -4356 / 7 + 7 * 1156 #

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #