[(1 + 3x) ^ (1 / x)] değerini x'in sonsuzluğa yaklaştığı şeklinde nasıl değerlendiriyorsunuz?

Cevap:

#lim_ (xrarroo) (1 + 3x) ^ (1 / x) = 1 #

Açıklama:

Üstel ve doğal kütük fonksiyonlarının ters işlem olduğu gerçeğinden faydalanan şık bir numara kullanmaya gitmek. Bu, işlevi değiştirmeden her ikisini de uygulayabileceğimiz anlamına gelir.

#lim_ (xrarroo) (1 + 3x) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) e ^ (ln (1 + 3x) ^ (1 / x)) #

Üstelik günlük kütüğü kuralını kullanarak, gücü şu şekilde önüne getirebiliriz:

#lim_ (xrarroo) e ^ (1 / XLN (1 + 3x)) #

Üstel fonksiyon süreklidir, böylece şunu yazabilirsiniz.

# E ^ (lim_ (xrarroo) 1 / XLN (1 + 3x)) #

ve şimdi sadece limitle uğraşın ve üsteli geri almayı unutmayın.

#lim_ (xrarroo) 1 / xln (1 + 3x) = lim_ (xrarroo) (1 (3 + 3x)) / (x) #

Bu sınır belirsiz formdadır # Oo / oo # öyleyse L'Hopital’i kullan.

#lim_ (xrarroo) (ln (1 + 3x)) / x = lim_ (xrarroo) (d / (dx) (ln (1 + 3x))) / (d / (dx) (x)) = lim_ (xrarroo) (3 / (1 + 3x)) = 0 #

Bu nedenle üslerin limiti 0, yani toplam limit # E ^ 0 = 1 #