F bulun ve integral 'hesapla'?

Cevap:

Aşağıya bakınız

Açıklama:

# E ^ f (x) + f '(x) + 1 = 0 #

# e ^ y + y '+ 1 = 0, qquad y = f (x) #

# y '= - 1 - e ^ y #

# (dy) / (1 + e ^ y) = - dx #

#z = e ^ y, qquad dz = e ^ y dy = z dy #

#int (dz) / (z (1 + z)) = - int dx #

#int dz 1 / z - 1 / (1 + z) = - int dx #

#ln (z / (1 + z)) = C - x #

# e ^ y / (1 + e ^ y) = e ^ (C - x) #

IV'ü kullanarak:

• # e ^ (C - x) = 1 / (e ^ (- y) + 1) #

• #lim_ (x ila 0) y = + oo, C = 0 # anlamına gelir

# e ^ y (1 - e ^ (- x)) = e ^ (- x) #

# e ^ y = e ^ (- x) / (1 - e ^ (- x)) = 1 / (e ^ x-1) #

#y = ln (1 / (e ^ (x) -1)) #

GÖSTERMEK bit

#I = int_ (ln2) ^ 1 e ^ y (x + 1) dx #

# = - int_ (ln2) ^ 1 (1+ x) (1 + y ') dx #

# = - int_ (ln2) ^ 1 1+ x dx -renk (kırmızı) (int_ (ln2) ^ 1 y ' dx) - int_ (ln2) ^ 1 xy' dx #

# renk (kırmızı) (int_ (ln2) ^ 1 y ' dx) = ln (1 / (e ^ (x) -1)) _ (ln2) ^ 1 = - ln (e-1) #

# I basitleştirir I - ln (e-1) = - int_ (ln2) ^ 1 1+ x dx - int_ (ln2) ^ 1 xy ' dx #

• # int_ (ln2) ^ 1 1+ x dx gt 0 #

• # int_ (ln2) ^ 1 xy ' dx gt 0 #

# I ln yapar (e-1) #

Cevap:

#f (x) = c-x -ln (1-e ^ (c-x)) #

Henüz eşitsizliği gösteremedim, ama daha güçlü bir eşitsizlik buldum.

Açıklama:

let #g (x) = e ^ (f (x)) # öyle ki, zincir kuralını kullanarak:

#g '(x) = f' (x) e ^ (f (x)) #

Şimdi şunu not et:

#f (x) = ln (g (x)) #, yani:

#f '(x) = (g' (x)) / (g (x)) #

Özgün denklemde ikame ettik:

#g (x) + (g '(x)) / (g (x)) +1 = 0 #

ve tanımı gereği #g (x)> 0 #:

# (dg) / dx + g ^ 2 (x) + g (x) = 0 #

hangi ayrılabilir:

# (dg) / dx = -g ^ 2-g #

# (dg) / (g (g + l)) = -dx #

#int (dg) / (g (g + 1)) = -int dx #

Kısmi kesirler kullanarak ilk parçanın ayrıştırılması:

# 1 / (g (g + 1)) = 1 / g-1 / (g + 1) #

yani:

#int (dg) / g- int (dg) / (g + 1) = -int dx #

#ln g - ln (g + 1) = -x + c #

Logaritma özelliklerini kullanma:

#ln (g / (g + 1)) = - x + c #

# g / (g + 1) = e ^ (c-x) #

Şimdi için çözme # G #:

#g = e ^ (c-x) (g + 1) #

#g (1-e ^ (c-x)) = e ^ (c-x) #

ve sonunda:

#g (x) = e ^ (c-x) / (1-e ^ (c-x)) #

Şimdi:

#f (x) = ln (g (x)) = ln (e ^ (cx) / (1-e ^ (cx))) = ln (e ^ (cx)) -ln (1-ce ^ -x) #

#f (x) = c-x -ln (1-e ^ (c-x)) #

Belirleyebiliriz # C # durumdan:

#lim_ (x-> 0) f (x) = + oo #

Gibi:

#lim_ (x-> 0) c-x -ln (1-e ^ (c-x)) = c-ln (1-e ^ c) #

hangisi sonlu ise # C = 0 #.

Sonra:

#f (x) = -x-ln (1-e ^ -x) #

Şimdi ayrılmaz düşünün:

#int_ (ln2) ^ 1 e ^ (f (x)) (x + 1) dx = int_ (ln2) ^ 1 e ^ -x / (1-e ^ -x) (x + 1) dx #

Gibi:

# d / dx (e ^ -x / (1-e ^ -x) (x + 1)) = - (x * e ^ x + 1) / (e ^ x-1) ^ 2 #

entegrasyon aralığında fonksiyonun kesinlikle azaldığını görebiliriz, bu yüzden maksimum değeri # M # için oluşur # X = ln2 #:

#M = (e ^ -ln2 / (1-e ^ -ln2)) (ln2 + 1) = (1/2) / (1-1 / 2) (ln2 + 1) = (ln2 + 1) #

Sonra:

#int_ (ln2) ^ 1 e ^ (f (x)) (x + 1) dx <= M (1-ln2) #

#int_ (ln2) ^ 1 e ^ (f (x)) (x + 1) dx <= 1-ln ^ 2 2 #

Cevap:

Işte başka biri

Açıklama:

#a) #

# E ^ f (x) + f '(x) + 1 = 0 # # <=> ^ (* E ^ (- f (x)) #

1. + f '(x)' e ^ (- f (x)) + e ^ (- f (x)) = 0 # #<=>#

# F '(x)' e ^ (- f (x)) = 1 + e ^ (- f (x)) # #<=>#

# (E ^ (- f (x))) '= 1 + e ^ (- f (x)) # #<=>#

# (1 + e ^ (- f (x))) '= 1 + e ^ (- f (x)) ## <=> ^ (X> 0) #

bu yüzden orada # C ##içinde## RR #, 1. + e ^ (- f (x)) = ce ^ x #

• #lim_ (xto0) e ^ (- f (x)) = _ (xto0, Y -> - oo) ^ (- f (x) = u) lim_ (uto-oo) e ^ u = 0 #

ve #lim_ (xto0) (- e ^ (- f (x)) + 1) = lim_ (xto0) ce ^ x # #<=>#

# C = 1 #

Bu nedenle, 1. + e ^ (- f (x)) = e ^ x # #<=>#

# E ^ (- f (x)) = E ^ x-1 # #<=>#

# F (x) = İn (e ^ x-1) # #<=>#

#f (x) = - ln (e ^ x-1) # #color (beyaz) (aa) #, # x> 0 #

#b) #

# İnt_ln2 ^ 1 (e ^ f (x) (x + 1)) dx <##ln (e-1) #

#f (x) = - ln (e ^ x-1) #,# x> 0 #

#f '(x) = - e ^ x / (e ^ x-1) #

# F '(x) = e ^ x / (e ^ x-1)> = (x + 1) / (E ^ x-1) # '' olmadan#=#''

• # İnt_ln2 ^ 1f '(x) dx> int_ln2 ^ 1 (x + 1) / (E ^ x-1) dx # #<=>#

# İnt_ln2 ^ 1 (x + 1) / (E ^ x-1) dx <## - f (x) _ ln2 ^ 1 = f (1) + f (0) = İn (e-1) #

Ancak biz var

# E ^ f (x) (x + 1) = e ^ (- ln (e ^ x-1), () x + 1) = (x + 1) / (E ^ x-1) #

ve bu yüzden, # İnt_ln2 ^ 1 (x + 1) e ^ f (x) dx <##ln (e-1) #