Soru # 92256

Cevap:

Açıklamaya bakın

Açıklama:

Bunu iki parçaya bölün, önce iç kısım:

# E ^ x #

Bu, tüm gerçek sayılar için pozitif ve artıyor ve 0'dan # Oo # gibi # X # den gider # -Oo # için # Oo #

Biz var:

#arctan (u) #

Sağda yatay bir asimptote sahiptir. • y = pi / 2 #. Giden # u = 0 rarr oo #, at # U = 0 # bu fonksiyon pozitif ve bu alan üzerinde artıyor, 0 değerinde bir değer alıyor. # U = 0 #değeri # Pi / 4 # en # U = 1 # ve değeri # Pi / 2 # en # U = oo #.

Bu sebeple bu noktalar #, X = -Oo, 0, oo # sırasıyla ve sonuç olarak buna benzeyen bir grafikle sonuçlanır:

grafik {arctan (e ^ x) -10, 10, -1.5, 3}

Hangisinin olumlu kısmı # Arctan # işlevi, tüm gerçek çizgi boyunca uzanır ve soldaki değer, yatay bir asimptote gerilir. • y = 0 #.

Cevap:

Açıklamaya bakın

Açıklama:

domain olduğu # RR #

Simetri

Ne de # X # eksen veya w.r.t orijin değil.

#arctan (e ^ (- x)) # basitleştirmez #arctan (e ^ x) #

ne de # -Arctan (e ^ x) #

yakaladığını

# X # engeller: yok

Alamıyoruz #y = 0 # çünkü bu gerekli # e ^ x = 0 #

Fakat # E ^ x # asla #0#, sadece yaklaşıyor #0# gibi # Xrarr-oo #.

Yani, # Yrarr0 # gibi # Xrarr-oo # ve # X # eksen os a yatay

soldaki asimptot.

• y # kesişme: # Pi / 4 #

Ne zaman #, X = 0 #aldık #y = arctan (1) = pi / 4 #

Asimtot:

Dikey: yok

# Arctan # arasında # -Pi / 2 # ve # Pi / 2 # tanımı gereği, asla # Oo #

Yatay:

Ayrıldı: • y = 0 # yukarıda tartışıldığı gibi

Sağ: • y = pi / 2 #

Bunu biliyoruz ki # Thetararrpi / 2 # ile #theta <pi / 2 #aldık #tantheta rarr oo #

gibi # Xrarroo #aldık # e ^ x rarroo #, yani # y = arctan (e ^ x) rarr pi / 2 #

İlk türev

#y '= e ^ x / (1 + e ^ (2x)) # asla #0# ve asla tanımsız, bu nedenle kritik sayılar yok.

Her için # X # sahibiz #y '> 0 # yani fonksiyon artıyor # (- oo, oo) #

Yerel ekstrema yok.

İkinci türev

#y '' = (e ^ x (1 + e ^ (2x)) - e ^ x (2e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x + e ^ (3x) -2e ^ (3x)) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (E ^ x (1-e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

#Y '' # asla tanımsız değildir ve #0# en #, X = 0 #

İşareti #Y '' #:

üzerinde # (- oo 0) #aldık # e ^ (2x) <1 # yani #y ''> 0 # ve grafik içbükey

üzerinde # (0, oo) #aldık # e ^ (2x)> 1 # yani #y '' <0 # ve grafik içbükey aşağı

Conavity de değişir #, X = 0 #, yani çekim noktası:

# (0 pi / 4) #

Şimdi grafiği çiz