X'in (1 + 2x) ^ cscx'in 0'a yaklaştığı limit nedir?

Cevap # E ^ 2 #.

Sebep o kadar basit değil. İlk önce, hile kullanmanız gerekir: a = e ^ ln (a).

Bu nedenle, # (1 + 2x) ^ (1 / sinx) = e ^ u #, nerede

# u = ln ((1 + 2x) ^ (1 / sinx)) = = ln (1 + 2x) / sinx #

Bu nedenle, olarak # E ^ x # sürekli işlevdir, limiti taşıyabiliriz:

#lim_ (x-> 0) e ^ u = e ^ (lim_ (x-> 0) u) #

Sınırını hesaplayalım # U # x 0'a yaklaşır. Herhangi bir teorem olmadan, hesaplamalar zor olurdu. Bu nedenle de l'Hospital teoremini, limit tipi olduğu için kullanıyoruz. #0/0#.

#lim_ (x-> 0) f (x) / g (x) = lim_ (x-> 0) ((f '(x)) / (g' (x))) #

Bu nedenle,

#lim_ (x-> 0) ln (1 + 2x) / sinx = 2 / (2x + 1) / cos (x) = 2 / ((2x + 1) cosx) = 2 #

Ve sonra, orijinal sınırına geri dönersek # e ^ (lim_ (x-> 0) u) # ve 2 ekleyin, sonucu # E ^ 2 #,