Bir üçgen köşesinde (4, 1), (2, 4) ve (0, 2) # bulunmaktadır. Üçgenin dikey bisektörlerinin bitiş noktaları nelerdir?

Cevap:

Kolay son noktalar, ara noktalar #(1,3), (2, 3/2), (3, 5/2)# ve daha zor olanlar da dahil olmak üzere bisküvi diğer tarafla buluştuğu yerler #(8/3,4/3).#

Açıklama:

Bir üçgenin dikey bisektörleri ile, muhtemelen bir üçgenin her iki tarafının dikey bisektörlerini kastediyoruz. Bu yüzden her üçgen için üç tane dikey bisector var.

Her dikey bisektör, bir tarafında orta noktasında kesişecek şekilde tanımlanmıştır. Aynı zamanda diğer taraflardan birini kesecek. Bu iki görüşmenin bitiş noktası olduğunu varsayacağız.

Orta noktalar

# D = kırılma 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

# E = kırılma 1 2 (A + C) = (2, 3/2) #

# F = kırık 1 2 (A + B) = (3, 5/2) #

Burası muhtemelen çizgilerin ve çizgi bölümlerinin parametrik gösterimlerini öğrenmek için iyi bir yerdir. # T # gerçekler üzerinden (bir çizgi için) veya #0# için #1# çizgi kesimi için.

Noktaları etiketleyelim #A (4,1) #, #B (2,4) # ve #C (0,2) #. Üç taraf:

# AB: (x, y) = (1-t) A + tB #

#AB: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (2,4) = (4-2t, 1 + 3t) #

# BC: (x, y) = (1-t) (2,4) + t (0,2) = (2-2t, 4-2t) #

# AC: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (0,2) = (4-4t, 1 + t) #

Gibi # T # sıfırdan bire gider, her bir tarafını izleriz.

Bir tane deneyelim. # D # orta noktasıdır #MİLATTAN ÖNCE#, # D = kırılma 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

C'den B'ye yön vektörü # B-C = (2,2) #. Dikey olarak, iki katsayıyı çeviririz (burada etkisi yok çünkü ikisi de #2#) ve birini reddedin. Yani dik için parametrik denklem

# (x, y) = (1,3) + t (2, -2) = (2u + 1, -2u + 3) #

(Farklı çizgi, farklı parametre.) Bunun her iki tarafın da nerede birleştiğini görebiliriz.

#BC: (2-2t, 4-2t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 1 = 2t + 2u #

# 1 = 2t - 2u #

# 2 = 4t #

# t = 1/2 #

# t = 1/2 # dikey bisektörün BC'yi orta noktasında karşıladığını doğrular.

#AB: (4-2t, 1 + 3t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 4-2t = 2u + 1 #

# 2t + 2u = 3 #

# 1 + 3t = - 2u + 3 #

# 3t + 2u = 2 #

Çıkarma, # t = 2-3 = - 1 #

Bu aralığın dışında olduğundan BC'nin dikey biseridi AB tarafına çarpmaz.

# AC: 4-4t = 2u + 1 dörtlü dörtlü 3 = 4t + 2u #

# 1 + t = -2u + 3 dörtlü 2 = = t + 2u #

Çıkarma, # 1 = 3t #

# t = 1/3 #

Bu diğer uç nokta olarak verir

# (4-4t, 1 + t) = (8/3, 4/3) #

Bu uzun sürüyor, bu yüzden diğer iki bitiş noktasını size bırakacağım.