İntegral Test'i serinin yakınsaklığını veya uzaklaşmasını belirlemek için nasıl kullanırsınız: sum n e ^ -n n = 1'den sonsuza kadar?

Cevap:

İntegral almak # İnt_1 ^ ooxe ^ -xdx #, sonlu olan ve sınır olduğunu unutmayın #sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) #. Bu nedenle yakınsak, yani #sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) # aynı zamanda.

Açıklama:

İntegral testin resmi ifadesi, eğer #fin 0, oo) rightarrowRR # negatif olmayan monoton bir azaltma işlevi. Sonra toplam #sum_ (n = 0) ^ oof (n) # yakınsak eğer ve sadece # "Destek" _ (N> 0) int_0 ^ NF (x) dx # sonlu. (Tau, Terence. Analiz I, ikinci baskı. Hindustan kitap ajansı. 2009).

Bu ifade biraz teknik görünebilir, ancak fikir şu. Bu durumda fonksiyon alarak #f (x) = xe ^ (- x) #, biz bunun için # x> 1 #, bu fonksiyon azalıyor. Bunu türevi alarak görebiliriz. #f '(x) = e ^ (- x) -xe ^ (- x) = (1-x) e ^ (- x) <0 #, dan beri # x> 1 #, yani # (1-x) <0 # ve #e ^ (- x)> 0 #.

Bu nedenle, biz herhangi bir #ninNN _ (> = 2) # ve #x, 1, oo) # öyle ki # x <= n # sahibiz #f (x)> = f (n) #. bu nedenle #int_ (n-1) ^ nf (x) dx> = int_ (n-1) ^ nf (n) dx = f (n) #, yani #sum_ (n = 1) ^ NF (n) <= f (1) + sum_ (n = 2) ^ Nint_ (n-1) ^ nf (x) dx = f (1) + int_1 ^ NF (x) dx #.

# İnt_1 ^ oof (x) dx = int_1 ^ ooxe ^ (- x) dx = -int_ (x = 1) ^ ooxde ^ (- x) = - xe ^ (- x) | _1 ^ oo + int_1 ^ ooe ^ (-x) dx ## = - xe ^ (- x) -e ^ (- x) | ^ oo_1 = 2 / e # parçaların entegrasyonunu kullanmak #lim_ (xrightarrowoo) e ^ -x = lim_ (xrightarrowoo) xe ^ -x = 0 #.

Dan beri #f (x)> = 0 #, sahibiz # E / 2 = int_1 ^ oof (x) dx> = int_1 ^ NF (x) dx #, yani #sum_ (n = 1) ^ NF (n) <= f (1) + 2 / e = 3 / e #. Dan beri #f (n)> = 0 #, seri #sum_ (n = 1) ^ NF (n) # olarak artar # K # artışlar. Tarafından sınırlandırıldığından 3. / e #Birleşmeli. bu nedenle #sum_ (n = 1) ^ oof (n) # birleşir.