Cevap:
# "Burada kolay çarpanlara ayırma yoktur. Sadece genel bir yöntem" #
# "bir kübik denklemi çözmek için bize burada yardımcı olabilir." #
Açıklama:
# "Vieta'nın yerine konmasına dayanan bir yöntem uygulayabiliriz." #
# "İlk katsayı verimine göre bölme:" #
# x ^ 3 + 2 x ^ 2 - (13/2) x + 3 = 0 #
# "" X ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c "içindeki" x = y + p "yerine geçme:" #
# y ^ 3 + (3p + a) y ^ 2 + (3p ^ 2 + 2ap + b) y + p ^ 3 + ap ^ 2 + bp + c = 0 #
# "" 3p + a = 0 "veya" p = -a / 3 "alırsak ilk katsayı" # # "sıfıra dönüşür ve şunu alırız:" #
# => y ^ 3 - (47/6) y + (214/27) = 0 #
# "(" p = -2/3 "ile)" #
# "" Y ^ 3 + b y + c = 0 "içindeki" y = qz "yerine geçenler:" #
# z ^ 3 + b z / q ^ 2 + c / q ^ 3 = 0 #
# "" q = sqrt (| b | / 3) "alırsak", z katsayısı "# olur
# "3 veya -3, sonra da:"
# "(burada" q = 1,61589329 ")" #
# => z ^ 3 - 3 z + 1.87850338 = 0 #
# "" Z = t + 1 / t "yerine geçme, verim:" #
# => t ^ 3 + 1 / t ^ 3 + 1.87850338 = 0 #
# "" U = t ^ 3 "deyiminin değiştirilmesi, ikinci dereceden denklemi verir:" #
# => u ^ 2 + 1.87850338 u + 1 = 0 #
# "Kuadratik denklemin kökleri karmaşıktır." #
# "Bu, kübik denklemimizde 3 gerçek kök olduğumuz anlamına gelir." #
# "Bu ikinci dereceden denklemin kökü" #
# u = -0.93925169 + 0.34322917 i #
# "Değişkenleri geri yerine koyma, verim:" #
#t = root3 (u) = 1.0 * (cos (-0.93041329) + günah (-0.93041329)) #
# = 0.59750263 - 0.80186695 i. #
# => z = 1.19500526 + i 0.0. #
# => y = 1.93100097 + i 0.0. #
# => x = 1.26433430 #
# "Diğer kökler bölerek ve çözülerek bulunabilir" # # "ikinci dereceden kalan denklem." #
# "Diğer kökler gerçektir: -3.87643981 ve 0.61210551." #
Cevap:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 = 2 (x-x_0) (x-x_1) (x-x_2) #
nerede:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
Açıklama:
Verilen:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Soruda bir yazım hatası varsa bunun daha kolay çarpanlara düştüğünü unutmayın.
Örneğin:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-renk (kırmızı) (12) x + 6 = 2 (x-1) (x ^ 2 + 3x-6) = … #
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + renk (kırmızı) (7) = (x-1) (2x ^ 2 + 6x-7) = … #
Kübik verilen formda doğruysa, sıfırlarını ve faktörlerini aşağıdaki gibi bulabiliriz:
#f (x) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Tschirnhaus dönüşümü
Kübik çözümü daha basit hale getirmek için, Tschirnhaus dönüşümü olarak bilinen doğrusal bir ikame kullanarak kübik daha basit hale getiriyoruz.
# 0 = 108F (x) = 216x ^ 3 + 432x ^ 2-1404x + 648 #
# = (6x + 4) ^ 3-282 (6x + 4) + 1712 #
# = T ^ 3-282t + 1712 #
nerede # T = (6x + 4) #
Trigonometrik ikame
Dan beri #f (x) # vardır #3# gerçek sıfırlar, Cardana'nın yöntemi ve benzerleri, karmaşık sayıların indirgenemez küp köklerini içeren ifadelerle sonuçlanacaktır. Bu gibi durumlarda tercihim bunun yerine trigonometrik bir ikame kullanmaktır.
Koymak:
#t = k çünkü teta #
nerede #k = sqrt (4/3 * 282) = 2sqrt (94) #
Sonra:
# 0 = t ^ 3-282t + 1712 #
#color (white) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 teta - 282k cos theta + 1712 #
#color (white) (0) = 94k (4 cos ^ 3 teta - 3 cos teta) + 1712 #
#color (white) (0) = 94k cos 3 teta + 1712 #
Yani:
#cos 3 teta = -1712 / (94 k) = -1712 / (188 m2 (94)) = - (1712 m2 (94)) / (188 * 94) = -214/2209 (94) #
Yani:
# 3 theta = + -cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + 2npi #
Yani:
#theta = + - 1 / 3cos ^ (- 1) (- 214/2209 m² (94)) + (2npi) / 3 #
Yani:
#costata = cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) #
Hangileri #3# küpün farklı sıfırları # T #:
#t_n = k cos teta = 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) "" # için #n = 0, 1, 2 #
Sonra:
#x = 1/6 (t-4) #
Yani verilen kübrenin üç sıfırı:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
yaklaşık değerlerle:
# x_0 ~~ 1.2643 #
# x_1 ~~ -3.8764 #
# x_2 ~~ 0.61211 #
