Karmaşık sayılar nedir?

Karmaşık sayılar formun sayılarıdır. # A + bi # nerede # Bir # ve # B # gerçek sayılar ve #ben# olarak tanımlanır # İ = sqrt (-1) #.

(Yukarıdaki karmaşık sayıların temel bir tanımıdır. Onlar hakkında biraz daha fazlası için okumaya devam edin.)

Gerçek sayı kümesini nasıl ifade ettiğimize çok benzer # RR #, karmaşık sayılar kümesini aşağıdaki gibi # CC #. Tüm gerçek sayıların, herhangi bir gerçek sayı gibi, karmaşık sayılar olduğunu unutmayın. # X # olarak yazılmış olabilir # X + 0i #.

Karmaşık bir sayı verildiğinde # Z = a + bi #diyoruz ki # Bir # o gerçek kısım karmaşık sayının (belirtilen # "RE" (Z) #) ve # B # o hayali kısım karmaşık sayının (belirtilen # "Im" (z) #).

Karmaşık sayılarla işlem yapmak, binomlar üzerinde işlem yapmakla aynıdır. İki karmaşık sayı verildi # z_1 = a_1 + b_1i # ve # z_2 = a_2 + b_2i #

# z_1 + z_2 = a_1 + b_1i + a_2 + b_2i = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i #

# z_1-z_2 = a_1 + b_1i- (a_2 + b_2i) = (a_1-a_2) + (b_1-b_2) i #

# z_1xxz_2 = (a_1 + b_1i) (a_2 + b_2i) #

# = A_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i ^ 2 #

# = A_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i-b_1b_2 # (hatırlamak # İ = sqrt (-1) #)

# = (A_1a_2-b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1) i #

# z_1-: z_2 = (a_1 + b_1i) / (a_2 + b_2i) #

# = ((A_1 + b_1i) (A_2-b_2i)) / ((A_2 + b_2i) (A_2-b_2i)) #

# = ((A_1a_2 + b_1b_2) + (a_2b_1-a_1b_2) ı) / (A_2 ^ 2 + B_2 ^ 2) #

# = (a_1a_2 + b_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) + (a_2b_1-a_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) i #

Bölünme için, biz gerçeği kullandık # (A + b,), (a-bi) bir ^ 2 + b ^ # 2 =. Karmaşık bir sayı verildiğinde # Z = a + bi # Biz ararız # Bir-bi # karmaşık eşlenik arasında • Z ve göster #bar (Z) # (Yukarıda görüldüğü gibi) yararlı bir özelliktir. #zbar (Z) # her zaman gerçek bir sayıdır.

Kompleks sayıların birçok faydalı uygulaması ve niteliği vardır, ancak çoğu zaman erken karşılaşılan bir tanesi, polinomları çarpanlara ayırmadaki kullanımlarıdır. Kendimizi yalnızca gerçek sayılarla sınırlarsak, bunun gibi bir polinom # X, ^ 2 + 1 # faktoring yapılamaz, ancak karmaşık sayılara izin verirsek, # X, ^ 2 + 1 = (x + i), (x-i) #.

Aslında, karmaşık sayılara izin verirsek, o zaman herhangi derece tek değişkenli polinom # N # ürünü olarak yazılabilir # N # Doğrusal faktörler (muhtemelen bazıları aynı iken). Bu sonuç, cebirin temel teoremi ve adından da anlaşılacağı gibi, cebir için çok önemlidir ve geniş bir uygulamaya sahiptir.