F (x) = (x + 2) / (x + 3) olsun. Bir noktadan (0,6) geçen teğet çizgilerin denklemlerini bulun. Çözüm taslağı?

Cevap:

Teğetler # 25x-9y + 54 = 0 # ve • y = x + 6 #

Açıklama:

Teğetin eğimi olsun # M #. Teğet denklemi o zaman • y-6 = mx # veya • y = mx + 6 #

Şimdi bu teğet ve verilen eğrinin kesişme noktasını görelim • y = (x + 2) / (x + 3) #. Bu koyarak • y = mx + 6 # bu işte biz

# Mx + 6 = (x + 2) / (x + 3) # veya # (Mx + 6) (x + 3) = x + 2 #

diğer bir deyişle # Mx ^ 2 + 3mx + 6x + 18 = x + 2 #

veya # Mx ^ 2 + (3 ay + 5) x + 16 = 0 #

Bu iki değer vermelidir # X # yani iki kesişme noktası, ancak teğet eğriyi yalnızca bir noktada keser. Dolayısıyla eğer • y = mx + 6 # teğet ise, ikinci dereceden denklem için tek bir köke sahip olmalıyız. #0# diğer bir deyişle

# (3m + 5) ^ 2-4 * m x 16 = 0 #

veya # 9m ^ 2 + 30 m + 25-64m = 0 #

veya # 9m ^ 2-34m + 25 = 0 #

diğer bir deyişle # (M = 34 + -sqrt (34 ^ 2-900)) / 18 #

= # (34 + -sqrt256) / 18 = (34 + -16) / 18 #

diğer bir deyişle #25/9# veya #1#

ve dolayısıyla teğetler • y = 25 / 9x + 6 # diğer bir deyişle # 25x-9y + 54 = 0 #

ve • y = x + 6 #

grafik {(25x-9y + 54) (x-y + 6) (y- (x + 2) / (x + 3)) = 0 -12.58, 7.42, -3.16, 6.84}