Entegrasyon ile nasıl çözülür?

Cevap:

# Q = (/ 2.0 15) #

# P = (3,9) #

# "Alan" = 117/4 #

Açıklama:

Q, çizginin x kesişimidir. + Y = 15 # 2x

Bu noktayı bulmak için • y = 0 #

# 2x = 15 #

#, X = 15/2 #

Yani # Q = (/ 2.0 15) #

P, eğri ile çizgi arasındaki bir kesişme noktasıdır.

# y = x ^ 2 "" (1) #

# 2x + y = 15 "" (2) #

Alt #(1)# içine #(2)#

# 2x + x ^ 2 = 15 #

# X, ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (X + 5), (x-3) = 0 #

# X = -5 # veya #, X = 3 #

Grafikten P'nin x koordinatı pozitiftir, reddedebiliriz. # X = -5 #

#, X = 3 #

• y = x ^ 2 #

#=3^2#

#=9#

#:. P = (3,9) #

grafik {(2x + y-15) (x ^ 2-y) = 0 -17.06, 18.99, -1.69, 16.33}

Şimdi bölge için

Bu bölgenin toplam alanını bulmak için iki alan bulabilir ve bunları birlikte ekleyebiliriz.

Bunlar altındaki alan olacak • y = x ^ 2 # 0 ila 3 arasında ve çizginin altındaki alan 3 ila 15/2 arasındadır.

# "Eğri altındaki alan" = int_0 ^ 3 x ^ 2dx #

# = 1 / 3x ^ 3 _0 ^ 3 #

# = 1 / 3xx3 ^ 3-0 #

#=9#

Çizginin alanını entegrasyon yoluyla çözebiliriz, ancak bir üçgen gibi ele almak daha kolaydır.

# "Çizginin altındaki alan" = 1 / 2xx9xx (15 / 2-3) #

# = 1 / 2xx9xx9 / 2 #

#=81/4#

#: "gölgeli bölgenin toplam alanı" = 81/4 + 9 #

#=117/4#

Cevap:

3 & 4 için

Tom 10 yaptı

Açıklama:

3

# int_0 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 1 + int_1 ^ 5) f (x) dx #

#:. int_1 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 5 - int_0 ^ 1) f (x) dx #

#= 1- (-2) = 3#

4

#int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx = (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#:. int_ (3) ^ (- 2) f (x) dx = -int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx #

# = - (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#= - (2 - 6) = 4#

Cevap:

Aşağıya bakınız:

Uyarı: Uzun cevap!

Açıklama:

3 için):

Özelliği kullanarak:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

Dolayısıyla:

# int_0 ^ 5 f (x) dx = int_0 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 5 f (x) dx #

# 1 = -2 + x #

# x = 3 = int_1 ^ 5 f (x) dx #

4 için):

(aynı şey)

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# int_-2 ^ 3 f (x) dx = int_-2 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 3 f (x) dx #

#, X = 2 + (- 6) #

# x = -4 = int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Bununla birlikte, integral üzerindeki limitleri değiştirmeliyiz, yani:

# int_3 ^ -2 f (x) dx = -int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Yani:# int_3 ^ -2 f (x) dx = - (- 4) = 4 #

10 (a) için:

Kesişen iki işleve sahibiz. # P #, yani # P #:

# X, ^ 2 = 2x + 15 #

(Çizgi fonksiyonunu eğim-kesişme formuna çevirdim)

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (X + 5), (x-3) = 0 #

Yani #, X = 3 # hakkımızdaki gibi • y # eksen # x> 0 #.

(girilmesi #, X = 3 # işlevlerin herhangi birine)

• y = 2x + 15 #

• y = 2 (3) + 15 #

• y = 15-6 = 9 #

Yani koordinatını # P # olduğu #(3,9)#

İçin # Q #, çizgi • y = 2x + 15 # keser • y #-eksen • y = 0 #

# 0 = 2x + 15 #

# 2x = 15 #

#, X = (15/2) 7.5 # =

Yani # Q # bulunan #(7.5, 0)#

10 (b) için.

Alanı bulmak için iki integral inşa edeceğim. İntegralleri ayrı ayrı çözeceğim.

Alan:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

(İlk integrali çözün)

# int_O ^ P (x ^ 2) dx = int_0 ^ 3 (x ^ 2) dx = x ^ 3/3 #

(sınırları entegre ifadenin yerine koyun, unutmayın:

Üst-alt limit İntegralin değerini bulmak için)

# 3 ^ 3/3 -0 = 9 = int_O ^ P (x ^ 2) dx #

(ikinci integrali çözer)

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = int_3 ^ 7.5 (-2x + 15) dx = (- - 2x ^ 2) / 2 + 15x = - x ^ 2 + 15x #

(ikame limitleri: Üst-alt)

#-(15/2)^2+15(15/2)--3^2+15(3)#

#(-225/4)+(225/2)+9-45=(-225/4)+(450/4)+-36= (225/4)+(-144/4)=(81/4)#

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = (81/4) #

# int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = (36/4) + (81/4) #

# A = (117/4) #